Complex networks are everywhere. They appear for example in the form of biological networks, social networks, or computer networks and have been studied extensively. Efficient algorithms to solve problems on complex networks play a central role in today's society. Algorithmic meta-theorems show that many problems can be solved efficiently. Since logic is a powerful tool to model problems, it has been used to obtain very general meta-theorems. In this work, we consider all problems definable in first-order logic and analyze which properties of complex networks allow them to be solved efficiently. The mathematical tool to describe complex networks are random graph models. We define a property of random graph models called $\alpha$-power-law-boundedness. Roughly speaking, a random graph is $\alpha$-power-law-bounded if it does not admit strong clustering and its degree sequence is bounded by a power-law distribution with exponent at least $\alpha$ (i.e. the fraction of vertices with degree $k$ is roughly $O(k^{-\alpha})$). We solve the first-order model-checking problem (parameterized by the length of the formula) in almost linear FPT time on random graph models satisfying this property with $\alpha \ge 3$. This means in particular that one can solve every problem expressible in first-order logic in almost linear expected time on these random graph models. This includes for example preferential attachment graphs, Chung-Lu graphs, configuration graphs, and sparse Erd\H{o}s-R\'{e}nyi graphs. Our results match known hardness results and generalize previous tractability results on this topic.

中文翻译：

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随机图和复杂网络中的一阶模型检查

复杂的网络无处不在。例如，它们以生物网络、社交网络或计算机网络的形式出现，并已被广泛研究。解决复杂网络问题的高效算法在当今社会中发挥着核心作用。算法元定理表明可以有效地解决许多问题。由于逻辑是对问题建模的强大工具，因此它已被用于获得非常一般的元定理。在这项工作中，我们考虑了可以在一阶逻辑中定义的所有问题，并分析了复杂网络的哪些属性可以有效地解决它们。描述复杂网络的数学工具是随机图模型。我们定义了随机图模型的一个属性，称为 $\alpha$-power-law-boundedness。粗略地说，一个随机图是 $\alpha$-power-law-bounded 如果它不承认强聚类，并且它的度数序列受幂律分布的限制，其中指数至少为 $\alpha$（即度数为 $\alpha$ 的顶点的分数） k$ 大约是 $O(k^{-\alpha})$)。我们在满足此属性的随机图模型上以几乎线性的 FPT 时间解决一阶模型检查问题（由公式的长度参数化）$\alpha\ge 3$。这特别意味着可以在这些随机图模型上以几乎线性的预期时间解决一阶逻辑中可表达的每个问题。这包括例如优先附件图、Chung-Lu 图、配置图和稀疏 Erd\H{o}sR\'{e}nyi 图。我们的结果与已知的硬度结果相匹配，并概括了之前关于该主题的易处理性结果。度数为 $k$ 的顶点的分数大约为 $O(k^{-\alpha})$)。我们在满足此属性的随机图模型上以几乎线性的 FPT 时间解决一阶模型检查问题（由公式的长度参数化）$\alpha\ge 3$。这特别意味着可以在这些随机图模型上以几乎线性的预期时间解决一阶逻辑中可表达的每个问题。这包括例如优先附件图、Chung-Lu 图、配置图和稀疏 Erd\H{o}sR\'{e}nyi 图。我们的结果与已知的硬度结果相匹配，并概括了之前关于该主题的易处理性结果。度数为 $k$ 的顶点的分数大约为 $O(k^{-\alpha})$)。我们在满足此属性的随机图模型上以几乎线性的 FPT 时间解决一阶模型检查问题（由公式的长度参数化）$\alpha\ge 3$。这特别意味着可以在这些随机图模型上以几乎线性的预期时间解决一阶逻辑中可表达的每个问题。这包括例如优先附件图、Chung-Lu 图、配置图和稀疏 Erd\H{o}sR\'{e}nyi 图。我们的结果与已知的硬度结果相匹配，并概括了之前关于该主题的易处理性结果。我们在满足此属性的随机图模型上以几乎线性的 FPT 时间解决一阶模型检查问题（由公式的长度参数化）$\alpha\ge 3$。这特别意味着可以在这些随机图模型上以几乎线性的预期时间解决一阶逻辑中可表达的每个问题。这包括例如优先附件图、Chung-Lu 图、配置图和稀疏 Erd\H{o}sR\'{e}nyi 图。我们的结果与已知的硬度结果相匹配，并概括了先前关于该主题的易处理性结果。我们在满足此属性的随机图模型上以几乎线性的 FPT 时间解决一阶模型检查问题（由公式的长度参数化）$\alpha\ge 3$。这特别意味着可以在这些随机图模型上以几乎线性的预期时间解决一阶逻辑中可表达的每个问题。这包括例如优先附件图、Chung-Lu 图、配置图和稀疏 Erd\H{o}sR\'{e}nyi 图。我们的结果与已知的硬度结果相匹配，并概括了先前关于该主题的易处理性结果。配置图和稀疏 Erd\H{o}sR\'{e}nyi 图。我们的结果与已知的硬度结果相匹配，并概括了先前关于该主题的易处理性结果。配置图和稀疏 Erd\H{o}sR\'{e}nyi 图。我们的结果与已知的硬度结果相匹配，并概括了之前关于该主题的易处理性结果。