Abstract The present paper arose from recent studies of energy-minimal deformations of planar domains. We are concerned with the Dirichlet energy. In general the minimal mappings need not be homeomorphisms. In fact, a part of the domain near its boundary may collapse into the boundary of the target domain. In mathematical models of nonlinear elasticity this is interpreted as interpenetration of matter. We call such occurrence the Nitsche phenomenon, after Nitsche’s remarkable conjecture (now a theorem) about existence of harmonic homeomorphisms between annuli. Indeed the round annuli proved to be perfect choices to grasp the nuances of the problem. Several papers are devoted to a study of deformations of annuli. Because of rotational symmetry it seems likely that the Dirichlet energy-minimal deformations are radial maps. That is why we confine ourselves to radial minimal mappings. The novelty lies in the presence of a weight in the Dirichlet integral. We observe the Nitsche phenomenon in this case as well, see our main results Theorem 1.4 and Theorem 1.7. However, the arguments require further considerations and new ingredients. One must overcome the inherent difficulties arising from discontinuity of the weight. The Lagrange–Euler equation is unavailable, because the outer variation violates the principle of none interpenetration of matter. Inner variation, on the other hand, leads to an equation that involves the derivative of the weight. But our weight function is only measurable which is the main challenge of the present paper.

中文翻译：

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加权狄利克雷能量的 Nitsche 现象

摘要 本文源于最近对平面域能量最小变形的研究。我们关心的是狄利克雷能量。一般来说，最小映射不需要是同胚。事实上，靠近其边界的域的一部分可能会塌陷到目标域的边界。在非线性弹性的数学模型中，这被解释为物质的相互渗透。在 Nitsche 关于环之间存在调和同胚的非凡猜想（现在是一个定理）之后，我们将这种现象称为 Nitsche 现象。事实上，圆形环被证明是掌握问题细微差别的完美选择。有几篇论文致力于研究环的变形。由于旋转对称，狄利克雷能量最小变形很可能是径向图。这就是为什么我们将自己局限于径向最小映射。新颖之处在于狄利克雷积分中存在权重。在这种情况下，我们也观察到 Nitsche 现象，参见我们的主要结果定理 1.4 和定理 1.7。然而，这些论点需要进一步的考虑和新的成分。人们必须克服因重量不连续而产生的固有困难。拉格朗日-欧拉方程不可用，因为外部变化违反了物质不相互渗透的原则。另一方面，内部变化导致了一个涉及权重导数的方程。但是我们的权重函数只是可测量的，这是本文的主要挑战。在这种情况下，我们也观察到 Nitsche 现象，参见我们的主要结果定理 1.4 和定理 1.7。然而，这些论点需要进一步的考虑和新的成分。人们必须克服因重量不连续而产生的固有困难。拉格朗日-欧拉方程不可用，因为外部变化违反了物质不相互渗透的原则。另一方面，内部变化导致了一个涉及权重导数的方程。但是我们的权重函数只是可测量的，这是本文的主要挑战。在这种情况下，我们也观察到 Nitsche 现象，参见我们的主要结果定理 1.4 和定理 1.7。然而，这些论点需要进一步的考虑和新的成分。人们必须克服因重量不连续而产生的固有困难。拉格朗日-欧拉方程不可用，因为外部变化违反了物质不相互渗透的原则。另一方面，内部变化导致了一个涉及权重导数的方程。但是我们的权重函数只是可测量的，这是本文的主要挑战。拉格朗日-欧拉方程不可用，因为外部变化违反了物质不相互渗透的原则。另一方面，内部变化导致了一个涉及权重导数的方程。但是我们的权重函数只是可测量的，这是本文的主要挑战。拉格朗日-欧拉方程不可用，因为外部变化违反了物质不相互渗透的原则。另一方面，内部变化导致了一个涉及权重导数的方程。但是我们的权重函数只是可测量的，这是本文的主要挑战。