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Nonlocal Timoshenko simply supported beam: Second spectrum and modes
ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics ( IF 2.3 ) Pub Date : 2020-06-25 , DOI: 10.1002/zamm.201900163 Julio R. Claeyssen 1, 2 , Daniela de R. Tolfo 3 , Rosemaira D. Copetti 1
ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics ( IF 2.3 ) Pub Date : 2020-06-25 , DOI: 10.1002/zamm.201900163 Julio R. Claeyssen 1, 2 , Daniela de R. Tolfo 3 , Rosemaira D. Copetti 1
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We investigate the spectrum of frequencies of a nonlocal simply supported Timoshenko beam. When the mass matrix term is nonsingular, we can find the amplitudes of free vibrations as solutions of a second‐order matrix differential equation. These solutions are given in terms of a fundamental basis involving an impulsive matrix response and its derivative. This latter is given in closed‐form, involving a scalar function, its derivatives and coupling matrices. Simply supported boundary conditions have a nonclassical nature, but the frequencies are natural due to the influence of the nonlocal parameter. From the characteristic equation, we can find two branches of nonlocal frequencies referred to as the first and second spectrum and a critical frequency. This latter is the same cut‐off frequency for waves solutions of the nonlocal beam without boundary conditions. The nonlocal spectra are bounded, in contrast with the unbounded spectra of a local beam. For classifying eigenvalues as simple or double, the scalar wave function is useful. Simple eigenvalues occur when only one of the basic roots of the nonlocal characteristic polynomial are harmonically spaced, and double when both are harmonic and different. The eigenmodes have been found for both branches of the spectrum, and they are always oscillatory. At the critical frequency, the shape modes are determined by a limit process with the scalar function, resulting in occurrence the one pure‐shear mode. For a singular mass matrix, modes will exist for certain values of the nonlocal parameter but they are not unique.
中文翻译：
非本地季莫申科简单支持的光束：第二光谱和模式
我们研究了非局部简支Timoshenko光束的频率频谱。当质量矩阵项为非奇异项时，我们可以找到自由振动的振幅作为二阶矩阵微分方程的解。这些解决方案是根据涉及脉冲矩阵响应及其导数的基本原理给出的。后者以封闭形式给出，涉及标量函数，其导数和耦合矩阵。简单支持的边界条件具有非经典性质，但是由于非局部参数的影响，频率是自然的。从特征方程式中，我们可以找到两个非局部频率分支，分别称为第一频谱和第二频谱以及一个临界频率。对于没有边界条件的非局部光束的波解，后者是相同的截止频率。与局部光束的无界光谱相反，非局部光谱是有界的。为了将特征值分类为简单或双精度，标量波函数很有用。当非局部特征多项式的基本根之一只有一个谐波间隔时，就会出现简单的特征值；而当两个谐波都是谐波且互不相同时，就会出现两倍的特征值。已经发现频谱的两个分支的本征模，并且它们总是振荡的。在临界频率处，形状模式是通过具有标量函数的极限过程确定的，从而导致出现一种纯剪切模式。对于奇异质量矩阵，非局部参数的某些值将存在模式，但它们不是唯一的。与局部光束的无界光谱相反，非局部光谱是有界的。为了将特征值分类为简单或双精度，标量波函数很有用。当非局部特征多项式的基本根之一只有一个谐波间隔时，就会出现简单的特征值；而当两个谐波都是谐波且互不相同时，就会出现两倍的特征值。已经发现频谱的两个分支的本征模，并且它们总是振荡的。在临界频率处，形状模式是通过具有标量函数的极限过程确定的，从而导致出现一种纯剪切模式。对于奇异质量矩阵，非局部参数的某些值将存在模式，但它们不是唯一的。与局部光束的无界光谱相反，非局部光谱是有界的。为了将特征值分类为简单或双精度，标量波函数很有用。当非局部特征多项式的基本根之一只有一个谐波间隔时，就会出现简单的特征值；而当两个谐波都是谐波且互不相同时，就会出现两倍的特征值。已经发现频谱的两个分支的本征模，并且它们总是振荡的。在临界频率处，形状模式是通过具有标量函数的极限过程确定的，从而导致出现一种纯剪切模式。对于奇异质量矩阵，非局部参数的某些值将存在模式，但它们不是唯一的。标量波函数很有用。当非局部特征多项式的基本根之一只有一个谐波间隔时，就会出现简单的特征值；而当两个谐波都是谐波且互不相同时，就会出现两倍的特征值。已经发现频谱的两个分支的本征模，并且它们总是振荡的。在临界频率处，形状模式是通过具有标量函数的极限过程确定的，从而导致出现一种纯剪切模式。对于奇异质量矩阵，非局部参数的某些值将存在模式，但它们不是唯一的。标量波函数很有用。当非局部特征多项式的基本根之一只有一个谐波间隔时，就会出现简单的特征值；而当两个谐波都是谐波且互不相同时，就会出现两倍的特征值。已经发现频谱的两个分支的本征模，并且它们总是振荡的。在临界频率处，形状模式是通过具有标量函数的极限过程确定的，从而导致出现一种纯剪切模式。对于奇异质量矩阵，非局部参数的某些值将存在模式，但它们不是唯一的。在临界频率处，形状模式是通过具有标量函数的极限过程确定的，从而导致出现一种纯剪切模式。对于奇异质量矩阵，非局部参数的某些值将存在模式，但它们不是唯一的。在临界频率处，形状模式是通过具有标量函数的极限过程确定的，从而导致出现一种纯剪切模式。对于奇异质量矩阵，非局部参数的某些值将存在模式，但它们不是唯一的。
更新日期：2020-06-25
中文翻译：
非本地季莫申科简单支持的光束：第二光谱和模式
我们研究了非局部简支Timoshenko光束的频率频谱。当质量矩阵项为非奇异项时，我们可以找到自由振动的振幅作为二阶矩阵微分方程的解。这些解决方案是根据涉及脉冲矩阵响应及其导数的基本原理给出的。后者以封闭形式给出，涉及标量函数，其导数和耦合矩阵。简单支持的边界条件具有非经典性质，但是由于非局部参数的影响，频率是自然的。从特征方程式中，我们可以找到两个非局部频率分支，分别称为第一频谱和第二频谱以及一个临界频率。对于没有边界条件的非局部光束的波解，后者是相同的截止频率。与局部光束的无界光谱相反，非局部光谱是有界的。为了将特征值分类为简单或双精度，标量波函数很有用。当非局部特征多项式的基本根之一只有一个谐波间隔时，就会出现简单的特征值；而当两个谐波都是谐波且互不相同时，就会出现两倍的特征值。已经发现频谱的两个分支的本征模，并且它们总是振荡的。在临界频率处，形状模式是通过具有标量函数的极限过程确定的，从而导致出现一种纯剪切模式。对于奇异质量矩阵，非局部参数的某些值将存在模式，但它们不是唯一的。与局部光束的无界光谱相反，非局部光谱是有界的。为了将特征值分类为简单或双精度，标量波函数很有用。当非局部特征多项式的基本根之一只有一个谐波间隔时，就会出现简单的特征值；而当两个谐波都是谐波且互不相同时，就会出现两倍的特征值。已经发现频谱的两个分支的本征模，并且它们总是振荡的。在临界频率处，形状模式是通过具有标量函数的极限过程确定的，从而导致出现一种纯剪切模式。对于奇异质量矩阵，非局部参数的某些值将存在模式，但它们不是唯一的。与局部光束的无界光谱相反，非局部光谱是有界的。为了将特征值分类为简单或双精度，标量波函数很有用。当非局部特征多项式的基本根之一只有一个谐波间隔时，就会出现简单的特征值；而当两个谐波都是谐波且互不相同时，就会出现两倍的特征值。已经发现频谱的两个分支的本征模，并且它们总是振荡的。在临界频率处，形状模式是通过具有标量函数的极限过程确定的，从而导致出现一种纯剪切模式。对于奇异质量矩阵，非局部参数的某些值将存在模式，但它们不是唯一的。标量波函数很有用。当非局部特征多项式的基本根之一只有一个谐波间隔时，就会出现简单的特征值；而当两个谐波都是谐波且互不相同时，就会出现两倍的特征值。已经发现频谱的两个分支的本征模，并且它们总是振荡的。在临界频率处，形状模式是通过具有标量函数的极限过程确定的，从而导致出现一种纯剪切模式。对于奇异质量矩阵，非局部参数的某些值将存在模式，但它们不是唯一的。标量波函数很有用。当非局部特征多项式的基本根之一只有一个谐波间隔时，就会出现简单的特征值；而当两个谐波都是谐波且互不相同时，就会出现两倍的特征值。已经发现频谱的两个分支的本征模，并且它们总是振荡的。在临界频率处，形状模式是通过具有标量函数的极限过程确定的，从而导致出现一种纯剪切模式。对于奇异质量矩阵，非局部参数的某些值将存在模式，但它们不是唯一的。在临界频率处，形状模式是通过具有标量函数的极限过程确定的，从而导致出现一种纯剪切模式。对于奇异质量矩阵，非局部参数的某些值将存在模式，但它们不是唯一的。在临界频率处，形状模式是通过具有标量函数的极限过程确定的，从而导致出现一种纯剪切模式。对于奇异质量矩阵，非局部参数的某些值将存在模式，但它们不是唯一的。
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