The shapes of individual self-gravitating structures of an ensemble of identical, collisionless particles have remained elusive for decades. In particular, a reason why mass density profiles like the Navarro–Frenk–White or the Einasto profile are good fits to simulation- and observation-based dark matter halos has not been found. Given the class of three dimensional, spherically symmetric power-law probability density distributions to locate individual particles in the ensemble mentioned above, we derive the constraining equation for the power-law index for the most and least likely joint ensemble configurations. We find that any dark matter halo can be partitioned into three regions: a core, an intermediate part, and an outskirts part up to boundary radius $$r_\mathrm {max}$$ r max . The power-law index of the core is determined by the mean radius of the particle distribution within the core. The intermediate region becomes isothermal in the limit of infinitely many particles. The slope of the mass density profile far from the centre is determined by the choice of $$r_\mathrm {max}$$ r max with respect to the outmost halo particle, such that two typical limiting cases arise that explain the $$r^{-3}$$ r - 3 -slope for galaxy-cluster outskirts and the $$r^{-4}$$ r - 4 -slope for galactic outskirts. Hence, we succeed in deriving the mass density profiles of common fitting functions from a general viewpoint. These results also allow to find a simple explanation for the cusp-core-problem and to separate the halo description from its dynamics.

中文翻译：

---

从数学角度看宇宙结构 1：暗物质晕质量密度分布

几十年来，一个由相同、无碰撞粒子组成的集合体的单个自引力结构的形状一直难以捉摸。特别是，尚未发现像 Navarro-Frenk-White 或 Einasto 剖面这样的质量密度剖面非常适合基于模拟和观察的暗物质晕的原因。给定在上述集合中定位单个粒子的三维球对称幂律概率密度分布的类别，我们推导出最可能和最不可能联合集合配置的幂律指数的约束方程。我们发现任何暗物质晕都可以分为三个区域：核心、中间部分和边缘部分，直到边界半径 $$r_\mathrm {max}$$ r max 。核的幂律指数由核内粒子分布的平均半径决定。中间区域在无限多个粒子的限制下变得等温。远离中心的质量密度分布的斜率由相对于最外晕粒子的 $$r_\mathrm {max}$$ r max 的选择确定，因此出现了两个典型的极限情况来解释 $$r ^{-3}$$ r - 3 -slope 适用于星系团外围，$$r^{-4}$$ r - 4 -slope 适用于银河外围。因此，我们成功地从一般的角度推导出了常见拟合函数的质量密度分布。这些结果还允许找到对尖核问题的简单解释，并将晕描述与其动力学分开。中间区域在无限多个粒子的限制下变得等温。远离中心的质量密度分布的斜率由相对于最外晕粒子的 $$r_\mathrm {max}$$ r max 的选择确定，因此出现了两个典型的极限情况来解释 $$r ^{-3}$$ r - 3 -slope 用于星系团外围，$$r^{-4}$$ r - 4 -slope 用于星系外围。因此，我们成功地从一般的角度推导出了常见拟合函数的质量密度分布。这些结果还允许找到对尖核问题的简单解释，并将晕描述与其动力学分开。中间区域在无限多个粒子的限制下变得等温。远离中心的质量密度分布的斜率由相对于最外晕粒子的 $$r_\mathrm {max}$$ r max 的选择确定，因此出现了两个典型的极限情况来解释 $$r ^{-3}$$ r - 3 -slope 用于星系团外围，$$r^{-4}$$ r - 4 -slope 用于星系外围。因此，我们成功地从一般的角度推导出了常见拟合函数的质量密度分布。这些结果还允许找到对尖核问题的简单解释，并将晕描述与其动力学分开。这样就出现了两个典型的极限情况，可以解释星系团外围的 $$r^{-3}$$ r - 3 -slope 和星系外围的 $$r^{-4}$$ r - 4 -slope . 因此，我们成功地从一般的角度推导出了常见拟合函数的质量密度分布。这些结果还可以找到对 cusp-core-problem 的简单解释，并将晕描述与其动力学分开。这样就出现了两个典型的极限情况，可以解释星系团外围的 $$r^{-3}$$ r - 3 -slope 和星系外围的 $$r^{-4}$$ r - 4 -slope . 因此，我们成功地从一般的角度推导出了常见拟合函数的质量密度分布。这些结果还允许找到对尖核问题的简单解释，并将晕描述与其动力学分开。