We obtain characterizations of non-negative functions on $$[0,+\infty )$$ [ 0 , + ∞ ) which preserve some classes of semimetrics. In particular, one of our main results says that for a non-decreasing function $$f:[0,+\infty )\rightarrow [0,+\infty )$$ f : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) the following statements are equivalent: (i) for any semimetric space ( X , d ), if d satisfies the relaxed polygonal inequality, then so does $$f\circ d$$ f ∘ d ; (ii) there exist a constant $$c\geqslant 1$$ c ⩾ 1 and a subadditive function $$g:[0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty )$$ g : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) such that $$g^{-1}\left( \{ 0 \} \right) = \{ 0 \}$$ g - 1 { 0 } = { 0 } and $$g\leqslant f \leqslant cg$$ g ⩽ f ⩽ c g . We also obtain a complete characterization of functions preserving regularity of a semimetric space in the sense of Bessenyei and Páles. Finally, we give another proof of the theorem of Pongsriiam and Termwuttipong on functions transforming metrics into ultrametrics.

中文翻译：

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关于保留满足松弛多边形不等式的正则半度量和拟度量的函数

我们在 $$[0,+\infty )$$ [ 0 , + ∞ ) 上获得非负函数的特征，它保留了一些半度量。特别是，我们的主要结果之一表明，对于非递减函数 $$f:[0,+\infty )\rightarrow [0,+\infty )$$ f : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) 以下陈述是等价的： (i) 对于任何半度量空间 ( X , d )，如果 d 满足松弛多边形不等式，则 $$f\circ d$$ f ∘ d 也满足；(ii) 存在一个常数 $$c\geqslant 1$$ c ⩾ 1 和一个次可加函数 $$g:[0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty )$$ g : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) 使得 $$g^{-1}\left( \{ 0 \} \right) = \{ 0 \}$$ g - 1 { 0 } = { 0 } 和 $ $g\leqslant f \leqslant cg$$g ⩽ f ⩽ cg . 我们还获得了 Besenyei 和 Páles 意义上的保持半度量空间正则性的函数的完整表征。