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Isomorphisms of subcategories of fusion systems of blocks and Clifford theory
Journal of Group Theory ( IF 0.4 ) Pub Date : 2020-03-19 , DOI: 10.1515/jgth-2019-0153 Morton E. Harris 1
Journal of Group Theory ( IF 0.4 ) Pub Date : 2020-03-19 , DOI: 10.1515/jgth-2019-0153 Morton E. Harris 1
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Abstract Let k be an algebraically closed field of prime characteristic p. Let G be a finite group, let N be a normal subgroup of G, and let c be a G-stable block of kN so that ( k N ) c {(kN)c} is a p-permutation G-algebra. As in Section 8.6 of [M. Linckelmann, The Block Theory of finite Group Algebras: Volume 2, London Math. Soc. Stud. Texts 92, Cambridge University, Cambridge, 2018], a ( G , N , c ) {(G,N,c)} -Brauer pair ( R , f R ) {(R,f_{R})} consists of a p-subgroup R of G and a block f R {f_{R}} of ( k C N ( R ) ) {(kC_{N}(R))} . If Q is a defect group of c and f Q ∈ 𝐵 ℓ ( k C N ( Q ) ) {f_{Q}\in\operatorname{\textit{B}\ell}(kC_{N}(Q))} , then ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} is a ( G , N , c ) {(G,N,c)} -Brauer pair. The ( G , N , c ) {(G,N,c)} -Brauer pairs form a (finite) poset. Set H = N G ( Q , f Q ) {H=N_{G}(Q,f_{Q})} so that ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} is an ( H , C N ( Q ) , f Q ) {(H,C_{N}(Q),f_{Q})} -Brauer pair. We extend Lemma 8.6.4 of the above book to show that if ( U , f U ) {(U,f_{U})} is a maximal ( G , N , c ) {(G,N,c)} -Brauer pair containing ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} , then ( U , f U ) {(U,f_{U})} is a maximal ( H , C N ( c ) , f Q ) {(H,C_{N}(c),f_{Q})} -Brauer pair containing ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} and conversely. Our main result shows that the subcategories of ℱ ( U , f U ) ( G , N , c ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(G,N,c)} and ℱ ( U , f U ) ( H , C N ( Q ) , f Q ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(H,C_{N}(Q),f_{Q})} of objects between and including ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} and ( U , f U ) {(U,f_{U})} are isomorphic. We close with an application to the Clifford theory of blocks.
中文翻译：
块和克利福德理论的融合系统子范畴的同构
摘要 令 k 为素数特征 p 的代数闭域。令 G 为有限群，令 N 为 G 的正规子群，令 c 为 kN 的 G 稳定块，使得 ( k N ) c {(kN)c} 是 p-置换 G-代数. 如 [M. Linckelmann，有限群代数的块理论：第 2 卷，伦敦数学。社会。螺柱。Texts 92, Cambridge University, Cambridge, 2018], a ( G , N , c ) {(G,N,c)} -Brauer pair ( R , f R ) {(R,f_{R})} 由一个G 的 p 子群 R 和 ( k CN ( R ) ) {(kC_{N}(R))} 的块 f R {f_{R}} 。如果 Q 是 c 和 f Q ∈ 𝐵 ℓ ( k CN ( Q ) ) {f_{Q}\in\operatorname{\textit{B}\ell}(kC_{N}(Q ))} ，那么 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 是一个 ( G , N , c ) {(G,N,c)} -Brauer 对。( G , N , c ) {(G,N,c)} -Brauer 对形成（有限）偏序集。设 H = NG ( Q , f Q ) {H=N_{G}(Q, f_{Q})} 使得 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 是一个 ( H , CN ( Q ) , f Q ) {(H,C_{N}(Q), f_{Q})} -Brauer 对。我们扩展上述书的引理 8.6.4 以证明 if ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( G , N , c ) {(G,N,c)} - Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} ，则 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( H , CN ( c ) , f Q ) {(H,C_{N}(c),f_{Q})} -Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 反之亦然。我们的主要结果表明 ℱ ( U , f U ) ( G , N , c ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(G,N,c)} 和 ℱ ( U , f U ) ( H , CN ( Q ) , f Q ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(H,C_{N}(Q),f_{Q })} 之间和包括 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 和 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 的对象是同构的。我们以 Clifford 块理论的应用结束。C_{N}(Q),f_{Q})} -Brauer 对。我们扩展上述书的引理 8.6.4 以证明 if ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( G , N , c ) {(G,N,c)} - Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} ，则 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( H , CN ( c ) , f Q ) {(H,C_{N}(c),f_{Q})} -Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 反之亦然。我们的主要结果表明 ℱ ( U , f U ) ( G , N , c ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(G,N,c)} 和 ℱ ( U , f U ) ( H , CN ( Q ) , f Q ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(H,C_{N}(Q),f_{Q })} 之间和包括 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 和 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 的对象是同构的。我们以 Clifford 块理论的应用结束。C_{N}(Q),f_{Q})} -Brauer 对。我们扩展上述书的引理 8.6.4 以证明 if ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( G , N , c ) {(G,N,c)} - Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} ，则 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( H , CN ( c ) , f Q ) {(H,C_{N}(c),f_{Q})} -Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 反之亦然。我们的主要结果表明 ℱ ( U , f U ) ( G , N , c ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(G,N,c)} 和 ℱ ( U , f U ) ( H , CN ( Q ) , f Q ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(H,C_{N}(Q),f_{Q })} 之间和包括 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 和 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 的对象是同构的。我们以 Clifford 块理论的应用结束。c)} -Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} ，则 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( H , CN ( c ) , f Q ) {(H,C_{N}(c),f_{Q})} -Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 反之亦然。我们的主要结果表明 ℱ ( U , f U ) ( G , N , c ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(G,N,c)} 和 ℱ ( U , f U ) ( H , CN ( Q ) , f Q ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(H,C_{N}(Q),f_{Q })} 之间和包括 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 和 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 的对象是同构的。我们以 Clifford 块理论的应用结束。c)} -Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} ，则 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( H , CN ( c ) , f Q ) {(H,C_{N}(c),f_{Q})} -Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 反之亦然。我们的主要结果表明 ℱ ( U , f U ) ( G , N , c ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(G,N,c)} 和 ℱ ( U , f U ) ( H , CN ( Q ) , f Q ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(H,C_{N}(Q),f_{Q })} 之间和包括 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 和 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 的对象是同构的。我们以 Clifford 块理论的应用结束。c ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(G,N,c)} 和 ℱ ( U , f U ) ( H , CN ( Q ) , f Q ) {\ mathcal{F}_{(U,f_{U})}(H,C_{N}(Q),f_{Q})} 之间和包括 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q })} 和 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是同构的。我们以 Clifford 块理论的应用结束。c ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(G,N,c)} 和 ℱ ( U , f U ) ( H , CN ( Q ) , f Q ) {\ mathcal{F}_{(U,f_{U})}(H,C_{N}(Q),f_{Q})} 之间和包括 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q })} 和 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是同构的。我们以 Clifford 块理论的应用结束。
更新日期：2020-03-19
中文翻译：
块和克利福德理论的融合系统子范畴的同构
摘要 令 k 为素数特征 p 的代数闭域。令 G 为有限群，令 N 为 G 的正规子群，令 c 为 kN 的 G 稳定块，使得 ( k N ) c {(kN)c} 是 p-置换 G-代数. 如 [M. Linckelmann，有限群代数的块理论：第 2 卷，伦敦数学。社会。螺柱。Texts 92, Cambridge University, Cambridge, 2018], a ( G , N , c ) {(G,N,c)} -Brauer pair ( R , f R ) {(R,f_{R})} 由一个G 的 p 子群 R 和 ( k CN ( R ) ) {(kC_{N}(R))} 的块 f R {f_{R}} 。如果 Q 是 c 和 f Q ∈ 𝐵 ℓ ( k CN ( Q ) ) {f_{Q}\in\operatorname{\textit{B}\ell}(kC_{N}(Q ))} ，那么 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 是一个 ( G , N , c ) {(G,N,c)} -Brauer 对。( G , N , c ) {(G,N,c)} -Brauer 对形成（有限）偏序集。设 H = NG ( Q , f Q ) {H=N_{G}(Q, f_{Q})} 使得 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 是一个 ( H , CN ( Q ) , f Q ) {(H,C_{N}(Q), f_{Q})} -Brauer 对。我们扩展上述书的引理 8.6.4 以证明 if ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( G , N , c ) {(G,N,c)} - Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} ，则 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( H , CN ( c ) , f Q ) {(H,C_{N}(c),f_{Q})} -Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 反之亦然。我们的主要结果表明 ℱ ( U , f U ) ( G , N , c ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(G,N,c)} 和 ℱ ( U , f U ) ( H , CN ( Q ) , f Q ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(H,C_{N}(Q),f_{Q })} 之间和包括 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 和 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 的对象是同构的。我们以 Clifford 块理论的应用结束。C_{N}(Q),f_{Q})} -Brauer 对。我们扩展上述书的引理 8.6.4 以证明 if ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( G , N , c ) {(G,N,c)} - Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} ，则 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( H , CN ( c ) , f Q ) {(H,C_{N}(c),f_{Q})} -Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 反之亦然。我们的主要结果表明 ℱ ( U , f U ) ( G , N , c ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(G,N,c)} 和 ℱ ( U , f U ) ( H , CN ( Q ) , f Q ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(H,C_{N}(Q),f_{Q })} 之间和包括 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 和 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 的对象是同构的。我们以 Clifford 块理论的应用结束。C_{N}(Q),f_{Q})} -Brauer 对。我们扩展上述书的引理 8.6.4 以证明 if ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( G , N , c ) {(G,N,c)} - Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} ，则 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( H , CN ( c ) , f Q ) {(H,C_{N}(c),f_{Q})} -Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 反之亦然。我们的主要结果表明 ℱ ( U , f U ) ( G , N , c ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(G,N,c)} 和 ℱ ( U , f U ) ( H , CN ( Q ) , f Q ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(H,C_{N}(Q),f_{Q })} 之间和包括 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 和 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 的对象是同构的。我们以 Clifford 块理论的应用结束。c)} -Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} ，则 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( H , CN ( c ) , f Q ) {(H,C_{N}(c),f_{Q})} -Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 反之亦然。我们的主要结果表明 ℱ ( U , f U ) ( G , N , c ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(G,N,c)} 和 ℱ ( U , f U ) ( H , CN ( Q ) , f Q ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(H,C_{N}(Q),f_{Q })} 之间和包括 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 和 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 的对象是同构的。我们以 Clifford 块理论的应用结束。c)} -Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} ，则 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是极大值 ( H , CN ( c ) , f Q ) {(H,C_{N}(c),f_{Q})} -Brauer 对包含 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 反之亦然。我们的主要结果表明 ℱ ( U , f U ) ( G , N , c ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(G,N,c)} 和 ℱ ( U , f U ) ( H , CN ( Q ) , f Q ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(H,C_{N}(Q),f_{Q })} 之间和包括 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q})} 和 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 的对象是同构的。我们以 Clifford 块理论的应用结束。c ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(G,N,c)} 和 ℱ ( U , f U ) ( H , CN ( Q ) , f Q ) {\ mathcal{F}_{(U,f_{U})}(H,C_{N}(Q),f_{Q})} 之间和包括 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q })} 和 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是同构的。我们以 Clifford 块理论的应用结束。c ) {\mathcal{F}_{(U,f_{U})}(G,N,c)} 和 ℱ ( U , f U ) ( H , CN ( Q ) , f Q ) {\ mathcal{F}_{(U,f_{U})}(H,C_{N}(Q),f_{Q})} 之间和包括 ( Q , f Q ) {(Q,f_{Q })} 和 ( U , f U ) {(U,f_{U})} 是同构的。我们以 Clifford 块理论的应用结束。
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