Let $C_4$ be a cycle of order 4. Write $ex\left(n,n,n,C_4\right)$ for the maximum number of edges in a balanced 3‐partite graph whose vertex set consists of three parts, each has $n$ vertices that have no subgraph isomorphic to $C_4$. In this paper, we show that $ex\left(n,n,n,C_4\right)\ge \frac{3}{2}n\left(p+1\right)$, where $n=\frac{p\left(p-1\right)}{2}$ and $p$ is a prime number. Note that $ex\left(n,n,n,C_4\right)\le \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}+o\left(1\right)\right)n^{\frac{3}{2}}$ from Tait and Timmons's works. Since for every integer $m$, one can find a prime $p$ such that $m\le p\le \left(1+o\left(1\right)\right)m$, we obtain that $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{ex\left(n,n,n,C_4\right)}{\frac{3\sqrt{2}}{2}{n}^{\frac{3}{2}}}=1$.

中文翻译：

---

关于不包含4个循环的3个部分图的注释

让 $C_4$ 是订单的一个周期4.写 $ËX（ñ，ñ，ñ，C_4）$ 平衡的三部分图中顶点集由三部分组成的最大边数 $ñ$ 没有子图同构的顶点 $C_4$。在本文中，我们表明$ËX（ñ，ñ，ñ，C_4）\ge \frac{3}{2}ñ（p+\mathrm{1个}）$，在哪里 $ñ=\frac{p（p-\mathrm{1个}）}{2}$ 和 $p$是素数。注意$ËX（ñ，ñ，ñ，C_4）\le （\frac{3\sqrt{2}}{2}+Ø（\mathrm{1个}））{ñ}^{\frac{3}{2}}$摘自Tait和Timmons的作品。因为对于每个整数$米$，可以找到素数 $p$ 这样 $米\le p\le （\mathrm{1个}+Ø（\mathrm{1个}））米$，我们得到 $\underset{ñ\to \infty }{林}\frac{ËX（ñ，ñ，ñ，C_4）}{\frac{3\sqrt{2}}{2}{ñ}^{\frac{3}{2}}}=\mathrm{1个}$。