In this note we consider the parabolic Anderson model in one dimension with time-independent fractional noise $\dot{W}$ in space. We consider the case $H<\frac{1}{2}$ and get existence and uniqueness of solution. In order to find the quenched asymptotics for the solution we consider its Feynman-Kac representation and explore the asymptotics of the principal eigenvalue for a random operator of the form $\frac{1}{2} \Delta + \dot{W}$.

中文翻译：

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粗糙空间噪声驱动的一维随机热方程的淬火渐近

在本笔记中，我们考虑一维抛物线安德森模型，在空间中具有与时间无关的分数噪声 $\dot{W}$。我们考虑 $H<\frac{1}{2}$ 的情况，并得到解的存在唯一性。为了找到解的淬灭渐近线，我们考虑其 Feynman-Kac 表示，并探索 $\frac{1}{2} \Delta + \dot{W}$ 形式的随机算子的主特征值的渐近线.