Abstract Let P ( 3 ) ( 2 , 4 ) be the hypergraph having vertex set { 1 , 2 , 3 , 4 } and edge set { { 1 , 2 , 3 } , { 1 , 2 , 4 } } . In this paper we consider vertex colorings of P ( 3 ) ( 2 , 4 ) -designs in such a way any block is neither monochromatic nor polychromatic. We find bounds for the upper and lower chromatic numbers, showing also that these bounds are sharp. Indeed, for any admissible v there exists a P ( 3 ) ( 2 , 4 ) -design of order v having the largest possible feasible set. Moreover, we study the existence of uncolorable P ( 3 ) ( 2 , 4 ) -designs, proving that they exist for any admissible order v ≥ 28 , while for v ≤ 13 any P ( 3 ) ( 2 , 4 ) -design is colorable. Thus, a few cases remain open, precisely v = 14 , 16 , 17 , 18 , 20 , 21 , 22 , 24 , 25 , 26 .

中文翻译：

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关于 3-hypergraph 设计中的 Voloshin 着色

摘要 令P(3)(2,4)为顶点集{1,2,3,4}和边集{{1,2,3},{1,2,4}}的超图。在本文中，我们以这样的方式考虑 P ( 3 ) ( 2 , 4 ) 设计的顶点着色，任何块都既不是单色也不是多色。我们找到了上下色数的界限，这也表明这些界限是尖锐的。事实上，对于任何可容许的 v，存在一个 P ( 3 ) ( 2 , 4 ) 阶 v 设计，其具有最大可能的可行集。此外，我们研究了不可着色 P ( 3 ) ( 2 , 4 ) -设计的存在，证明它们存在于任何可允许的阶 v ≥ 28 ，而对于 v ≤ 13 任何 P ( 3 ) ( 2 , 4 ) -设计是可着色的。因此，少数情况保持开放，准确地说是 v = 14 , 16 , 17 , 18 , 20 , 21 , 22 , 24 , 25 , 26 。