Topos quantum mechanics, developed by Döring ( 2008 ); Döring and Harding Houston J. Math. 42 (2), 559–568 ( 2016 ); Döring and Isham ( 2008 ); Flori 2013 )); Flori ( 2018 ); Isham and Butterfield J. Theoret. Phys. 37 , 2669–2733 ( 1998 ); Isham and Butterfield J. Theoret. Phys. 38 , 827–859 ( 1999 ); Isham et al. J. Theoret. Phys. 39 , 1413–1436 ( 2000 ); Isham and Butterfield J. Theoret. Phys. 41 , 613–639 ( 2002 ), creates a topos of presheaves over the poset V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ of Abelian von Neumann subalgebras of the von Neumann algebra N $\mathcal {N}$ of bounded operators associated to a physical system, and established several results, including: (a) a connection between the Kochen-Specker theorem and the non-existence of a global section of the spectral presheaf; (b) a version of the spectral theorem for self-adjoint operators; (c) a connection between states of N $\mathcal {N}$ and measures on the spectral presheaf; and (d) a model of dynamics in terms of V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ . We consider a modification to this approach using not the whole of the poset V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ , but only its elements V ( N ) ∗ $\mathcal {V}(\mathcal {N})^{*}$ of height at most two. This produces a different topos with different internal logic. However, the core results (a)–(d) established using the full poset V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ are also established for the topos over the smaller poset, and some aspects simplify considerably. Additionally, this smaller poset has appealing aspects reminiscent of projective geometry.

中文翻译：

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具有短位姿的拓扑量子理论

Topos 量子力学，由 Döring (2008) 开发；Döring 和 Harding Houston J. Math。42 (2), 559–568 (2016)；Döring 和 Isham（2008 年）；弗洛里 2013)); 弗洛里 (2018); Isham 和 Butterfield J. Theoret。物理。37 , 2669–2733 ( 1998 ); Isham 和 Butterfield J. Theoret。物理。38 , 827–859 ( 1999 ); 伊沙姆等人。J. 理论。物理。39 , 1413–1436 ( 2000 ); Isham 和 Butterfield J. Theoret。物理。41 , 613–639 ( 2002 ), 在冯诺依曼代数 N $\mathcal { 的阿贝尔冯诺依曼子代数的偏序集 V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ 上创建了一个预层拓扑N}$ 个与物理系统相关的有界算子，并建立了几个结果，包括： (a) Kochen-Specker 定理与光谱预层的全局部分的不存在之间的联系；(b) 自伴随算子的谱定理的一个版本；(c) N $\mathcal {N}$ 的状态与光谱预层上的测量之间的联系；(d) 以 V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ 表示的动力学模型。我们考虑对这种方法进行修改，不使用整个poset V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ ，而只使用它的元素V ( N ) ∗ $\mathcal {V}(\ mathcal {N})^{*}$ 的高度最多为两个。这会产生具有不同内部逻辑的不同拓扑。然而，使用完整偏序集 V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ 建立的核心结果 (a)–(d) 也是针对较小偏序集上的拓扑建立的，并且某些方面简化了相当。此外，这个较小的偏序集具有让人联想到射影几何的吸引人的方面。(c) N $\mathcal {N}$ 的状态与光谱预层上的测量之间的联系；(d) 以 V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ 表示的动力学模型。我们考虑对这种方法进行修改，不使用整个poset V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ ，而只使用它的元素V ( N ) ∗ $\mathcal {V}(\ mathcal {N})^{*}$ 的高度最多为两个。这会产生具有不同内部逻辑的不同拓扑。然而，使用完整偏序集 V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ 建立的核心结果 (a)–(d) 也是针对较小偏序集上的拓扑建立的，并且某些方面简化了相当。此外，这个较小的偏序集具有让人联想到射影几何的吸引人的方面。(c) N $\mathcal {N}$ 的状态与光谱预层上的测量之间的联系；(d) 以 V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ 表示的动力学模型。我们考虑对这种方法进行修改，不使用整个poset V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ ，而只使用它的元素V ( N ) ∗ $\mathcal {V}(\ mathcal {N})^{*}$ 的高度最多为两个。这会产生具有不同内部逻辑的不同拓扑。然而，使用完整偏序集 V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ 建立的核心结果 (a)–(d) 也是针对较小偏序集上的拓扑建立的，并且某些方面简化了相当。此外，这个较小的偏序集具有让人联想到射影几何的吸引人的方面。我们考虑对这种方法进行修改，不使用整个poset V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ ，而只使用它的元素V ( N ) ∗ $\mathcal {V}(\ mathcal {N})^{*}$ 的高度最多为两个。这会产生具有不同内部逻辑的不同拓扑。然而，使用完整偏序集 V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ 建立的核心结果 (a)–(d) 也是针对较小偏序集上的拓扑建立的，并且某些方面简化了相当。此外，这个较小的偏序集具有让人联想到射影几何的吸引人的方面。我们考虑对这种方法进行修改，不使用整个poset V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ ，而只使用它的元素V ( N ) ∗ $\mathcal {V}(\ mathcal {N})^{*}$ 的高度最多为两个。这会产生具有不同内部逻辑的不同拓扑。然而，使用完整偏序集 V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ 建立的核心结果 (a)–(d) 也是针对较小偏序集上的拓扑建立的，并且某些方面简化了相当。此外，这个较小的偏序集具有让人联想到射影几何的吸引人的方面。使用完整偏序集 V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ 建立的核心结果 (a)–(d) 也是针对较小偏序集上的拓扑建立的，并且某些方面显着简化。此外，这个较小的偏序集具有让人联想到射影几何的吸引人的方面。使用完整偏序集 V ( N ) $\mathcal {V}(\mathcal {N})$ 建立的核心结果 (a)–(d) 也是针对较小偏序集上的拓扑建立的，并且某些方面显着简化。此外，这个较小的偏序集具有让人联想到射影几何的吸引人的方面。