Activating transitions between internal states of physical systems has emerged as an appealing approach to create lattices and complex networks. In such a scheme, the internal states or modes of a physical system are regarded as lattice sites or network nodes in an abstract space whose dimensionality may exceed the systems' apparent (geometric) dimensionality. This introduces the notion of synthetic dimensions, thus providing entirely novel pathways for fundamental research and applications. Here, we analytically show that the propagation of multi-photon states through multi-port waveguide arrays gives rise to synthetic dimensions where a single waveguide system generates a multitude of synthetic lattices. Since these synthetic lattices exist in photon-number space, we introduce the concept of pseudo-energy and demonstrate its utility for studying multi-photon interference processes. Specifically, the spectrum of the associated pseudo-energy operator generates a unique ordering of the relevant states. Together with generalized pseudo-energy ladder operators, this allows for representing the dynamics of multi-photon states by way of pseudo-energy term diagrams that are associated with a synthetic atom. As a result, the pseudo-energy representation leads to concise analytical expressions for the eigensystem of $N$ photons propagating through $M$ nearest-neighbor coupled waveguides. In the regime where $N>2$ and $M>2$, non-local coupling in Fock space gives rise to hitherto unknown all-optical dark states which display intriguing non-trivial dynamics.

中文翻译：

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多端口波导阵列中的多光子合成晶格：合成原子和 Fock 图

激活物理系统内部状态之间的转换已成为创建晶格和复杂网络的一种有吸引力的方法。在这样的方案中，物理系统的内部状态或模式被视为抽象空间中的格点或网络节点，其维数可能超过系统的表观（几何）维数。这引入了合成维度的概念，从而为基础研究和应用提供了全新的途径。在这里，我们分析表明多光子状态通过多端口波导阵列的传播产生合成尺寸，其中单个波导系统产生大量合成晶格。由于这些合成晶格存在于光子数空间中，我们介绍了伪能量的概念，并展示了它在研究多光子干涉过程中的实用性。具体而言，相关伪能量算子的频谱生成相关状态的唯一排序。与广义的伪能量阶梯算子一起，这允许通过与合成原子相关的伪能量项图来表示多光子状态的动力学。因此，伪能量表示导致通过 $M$ 最近邻耦合波导传播的 $N$ 光子的本征系统的简明解析表达式。在 $N>2$ 和 $M>2$ 的情况下，Fock 空间中的非局部耦合产生了迄今为止未知的全光暗状态，这些状态显示出有趣的非平凡动态。相关伪能量算子的频谱生成相关状态的唯一排序。与广义的伪能量阶梯算子一起，这允许通过与合成原子相关的伪能量项图来表示多光子状态的动力学。因此，伪能量表示导致通过 $M$ 最近邻耦合波导传播的 $N$ 光子的本征系统的简明解析表达式。在 $N>2$ 和 $M>2$ 的情况下，Fock 空间中的非局部耦合产生了迄今为止未知的全光暗状态，这些状态显示出有趣的非平凡动态。相关伪能量算子的频谱生成相关状态的唯一排序。与广义的伪能量阶梯算子一起，这允许通过与合成原子相关的伪能量项图来表示多光子状态的动力学。因此，伪能量表示导致通过 $M$ 最近邻耦合波导传播的 $N$ 光子的本征系统的简明解析表达式。在 $N>2$ 和 $M>2$ 的情况下，Fock 空间中的非局部耦合产生了迄今为止未知的全光暗状态，这些状态显示出有趣的非平凡动态。这允许通过与合成原子相关的伪能量项图来表示多光子状态的动力学。因此，伪能量表示导致通过 $M$ 最近邻耦合波导传播的 $N$ 光子的本征系统的简明解析表达式。在 $N>2$ 和 $M>2$ 的情况下，Fock 空间中的非局部耦合产生了迄今为止未知的全光暗状态，这些状态显示出有趣的非平凡动态。这允许通过与合成原子相关的伪能量项图来表示多光子状态的动力学。因此，伪能量表示导致了 $N$ 光子通过 $M$ 最近邻耦合波导传播的本征系统的简明解析表达式。在 $N>2$ 和 $M>2$ 的情况下，Fock 空间中的非局部耦合产生了迄今为止未知的全光暗状态，这些状态显示出有趣的非平凡动态。