We prove that if $P$ is a set of $n$ points in $\mathbb{C}^2$, then either the points in $P$ determine $\Omega(n^{1-\epsilon})$ complex distances, or $P$ is contained in a line with slope $\pm i$. If the latter occurs then each pair of points in $P$ have complex distance 0.

中文翻译：

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复平面中的不同距离

我们证明，如果 $P$ 是 $\mathbb{C}^2$ 中的一组 $n$ 个点，则 $P$ 中的点确定 $\Omega(n^{1-\epsilon})$ 复数距离，或 $P$ 包含在斜率 $\pm i$ 的直线中。如果后者发生，则 $P$ 中的每对点的复距离为 0。