Envelopes have been proposed in recent years as a nascent methodology for sufficient dimension reduction and efficient parameter estimation in multivariate linear models. We extend the classical definition of envelopes in Cook et al. (2010) to incorporate a nonlinear conditional mean function and a heteroscedastic error. Given any two random vectors X ∈ Rp and Y ∈ Rr, we propose two new model-free envelopes – called the Martingale Difference Divergence Envelope (MDDE) and 20 the Central Mean Envelope (CME) – and study their relationships with the standard envelope in the context of response reduction in the multivariate linear models. The MDDE effectively captures the nonlinearity in the conditional mean without imposing any parametric structure or requiring any tuning in estimation. Heteroscedasticity, or the non-constant conditional covariance of Y | X , is further detected by the CME based on a slicing scheme for the data. We reveal the nested structure 25 of different envelopes: (1) the CME contains the MDDE, with equality when Y | X has a constant conditional covariance; and (2) the MDDE contains the standard envelope, with equality when Y | X has a linear conditional mean. We further develop an estimation procedure that obtains the MDDE first and then estimates the additional envelope components in the CME. We establish consistency in envelope estimation of MDDE and CME without stringent model assumptions. Simulations and real data 30 analysis demonstrate the advantages of MDDE and CME over standard envelope in dimension reduction.

中文翻译：

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具有非线性和异方差性的多元回归模型中的包络

近年来，人们提出了包络作为在多元线性模型中进行充分降维和有效参数估计的新生方法。我们扩展了 Cook 等人中信封的经典定义。(2010) 结合非线性条件平均函数和异方差误差。给定任意两个随机向量 X ∈ Rp 和 Y ∈ Rr，我们提出了两个新的无模型包络——称为马丁格尔差分发散包络（MDDE）和 20 中心平均包络（CME）——并研究它们与标准包络的关系多元线性模型中响应减少的背景。MDDE 有效地捕获了条件均值中的非线性，而无需强加任何参数结构或需要对估计进行任何调整。异方差性，或 Y 的非常量条件协方差 | X , 由 CME 基于数据的切片方案进一步检测。我们揭示了不同信封的嵌套结构 25：（1）CME 包含 MDDE，当 Y | X 具有恒定的条件协方差；(2) MDDE 包含标准包络，当 Y | 时相等 X 具有线性条件均值。我们进一步开发了一个估计程序，首先获得 MDDE，然后估计 CME 中的附加包络分量。我们在没有严格模型假设的情况下建立了 MDDE 和 CME 包络估计的一致性。模拟和真实数据 30 分析证明了 MDDE 和 CME 在降维方面优于标准包络。我们揭示了不同信封的嵌套结构 25：（1）CME 包含 MDDE，当 Y | X 具有恒定的条件协方差；(2) MDDE 包含标准包络，当 Y | 时相等 X 具有线性条件均值。我们进一步开发了一个估计程序，首先获得 MDDE，然后估计 CME 中的附加包络分量。我们在没有严格模型假设的情况下建立了 MDDE 和 CME 包络估计的一致性。模拟和真实数据 30 分析证明了 MDDE 和 CME 在降维方面优于标准包络。我们揭示了不同信封的嵌套结构 25：（1）CME 包含 MDDE，当 Y | X 具有恒定的条件协方差；(2) MDDE 包含标准包络，当 Y | 时相等 X 具有线性条件均值。我们进一步开发了一个估计程序，首先获得 MDDE，然后估计 CME 中的附加包络分量。我们在没有严格模型假设的情况下建立了 MDDE 和 CME 包络估计的一致性。模拟和真实数据 30 分析证明了 MDDE 和 CME 在降维方面优于标准包络。我们进一步开发了一个估计程序，首先获得 MDDE，然后估计 CME 中的附加包络分量。我们在没有严格模型假设的情况下建立了 MDDE 和 CME 包络估计的一致性。模拟和真实数据 30 分析证明了 MDDE 和 CME 在降维方面优于标准包络。我们进一步开发了一个估计程序，首先获得 MDDE，然后估计 CME 中的附加包络分量。我们在没有严格模型假设的情况下建立了 MDDE 和 CME 包络估计的一致性。模拟和真实数据 30 分析证明了 MDDE 和 CME 在降维方面优于标准包络。