We consider the computation of syzygies of multivariate polynomials in a finite-dimensional setting: for a $\mathbb{K}[X_1,\dots ,X_r]$-module $\mathcal{M}$ of finite dimension $D$ as a $\mathbb{K}$-vector space, and given elements $f_1,\dots ,f_m$ in $\mathcal{M}$, the problem is to compute syzygies between the $f_i$’s, that is, polynomials $(p_1,\dots ,p_m)$ in $\mathbb{K}{[X_1,\dots ,X_r]}^m$ such that $p_1{f}_1+\cdots +p_m{f}_m=0$ in $\mathcal{M}$. Assuming that the multiplication matrices of the $r$ variables with respect to some basis of $\mathcal{M}$ are known, we give an algorithm which computes the reduced Gröbner basis of the module of these syzygies, for any monomial order, using $O(m{D}^{\omega -1}+r{D}^{\omega }log\left(D\right))$ operations in the base field $\mathbb{K}$, where $\omega$ is the exponent of matrix multiplication. Furthermore, assuming that $\mathcal{M}$ is itself given as $\mathcal{M}=\mathbb{K}{[X_1,\dots ,X_r]}^n∕\mathcal{N}$, under some assumptions on $\mathcal{N}$ we show that these multiplication matrices can be computed from a Gröbner basis of $\mathcal{N}$ within the same complexity bound. In particular, taking $n=1$, $m=1$ and $f_1=1$ in $\mathcal{M}$, this yields a change of monomial order algorithm along the lines of the FGLM algorithm with a complexity bound which is sub-cubic in $D$.

我们考虑在有限维设置中计算多元多项式的合酶： $\mathbb{ķ}[X_{\mathrm{1个}}，\dots ，X_{\mathrm{[R}}]$-模块 $\mathcal{中号}$ 有限尺寸的 $d$ 作为一个 $\mathbb{ķ}$-向量空间和给定元素 $F_{\mathrm{1个}}，\dots ，F_{米}$ 在 $\mathcal{中号}$，问题是要计算 $F_{\mathrm{一世}}$是多项式 $（p_{\mathrm{1个}}，\dots ，p_{米}）$ 在 $\mathbb{ķ}{[X_{\mathrm{1个}}，\dots ，X_{\mathrm{[R}}]}^{米}$ 这样 $p_{\mathrm{1个}}{F}_{\mathrm{1个}}+\cdots +p_{米}{F}_{米}=0$ 在 $\mathcal{中号}$。假设的乘法矩阵$\mathrm{[R}$ 关于某些基础的变量 $\mathcal{中号}$ 众所周知，我们给出了一种算法，该算法针对任何单项式，使用以下公式计算这些syygies模块的简化Gröbner基础 $Ø（米d^{\omega -\mathrm{1个}}+\mathrm{[R}{d}^{\omega }日志（d））$ 基本字段中的操作 $\mathbb{ķ}$，在哪里 $\omega$是矩阵乘法的指数。此外，假设$\mathcal{中号}$ 本身给出为 $\mathcal{中号}=\mathbb{ķ}{[X_{\mathrm{1个}}，\dots ，X_{\mathrm{[R}}]}^{ñ}∕\mathcal{ñ}$，在某些假设下 $\mathcal{ñ}$ 我们证明了这些乘法矩阵可以从Gröbner的基础上计算 $\mathcal{ñ}$在相同的复杂度范围内。特别是$ñ=\mathrm{1个}$， $米=\mathrm{1个}$ 和 $F_{\mathrm{1个}}=\mathrm{1个}$ 在 $\mathcal{中号}$，这会沿FGLM算法的路线产生单项顺序算法的变化，其复杂度范围在 $d$。