Fix an elliptic curve $$E_0$$ E 0 without CM and a non-isotrivial elliptic scheme over a smooth irreducible curve, both defined over the algebraic numbers. Consider the union of all images of a fixed finite-rank subgroup (of arbitrary rank) of $$E_0^g$$ E 0 g , also defined over the algebraic numbers, under all isogenies between $$E_0^g$$ E 0 g and some fiber of the g -th fibered power $$\mathcal {A}$$ A of the elliptic scheme, where g is a fixed natural number. As a special case of a slightly more general result, we characterize the subvarieties (of arbitrary dimension) inside $$\mathcal {A}$$ A that have potentially Zariski dense intersection with this set. In the proof, we combine a generalized Vojta–Rémond inequality with the Pila–Zannier strategy.

中文翻译：

---

在椭圆方案的产物中与同基因轨道不太可能相交

在平滑的不可约曲线上修复没有 CM 的椭圆曲线 $$E_0$$ E 0 和非等平凡椭圆方案，两者都定义在代数数上。考虑 $$E_0^g$$ E 0 g 的固定有限秩子群（任意秩）的所有图像的并集，也在代数数上定义，在 $$E_0^g$$ E 0 之间的所有同构下g 和椭圆方案的第 g 次纤维化幂 $$\mathcal {A}$$ A 的一些纤维，其中 g 是固定的自然数。作为稍微更一般的结果的一个特例，我们描述了 $$\mathcal {A}$$ A 内的子变量（任意维度），这些子变量与这个集合有潜在的 Zariski 密集交集。在证明中，我们将广义 Vojta-Rémond 不等式与 Pila-Zannier 策略相结合。