The purpose of this paper is to provide a high-order finite element method (FEM) formulation of nonlocal nonlinear nonlocal graded Timoshenko based on the weak form quadrature element method (WQEM). This formulation offers the advantages and flexibility of the FEM without its limiting low-order accuracy. The nanobeam theory accounts for the von Kármán geometric nonlinearity in addition to Eringen’s nonlocal constitutive models. For the sake of generality, a nonlinear foundation is included in the formulation. The proposed formulation generates high-order derivative terms that cannot be accounted for using regular first- or second-order interpolation functions. Hamilton’s principle is used to derive the variational statement which is discretized using WQEM. The results of a WQEM free vibration study are assessed using data obtained from a similar problem solved by the differential quadrature method (DQM). The study shows that WQEM can offer the same accuracy as DQM with a reduced computational cost. Currently the literature describes a small number of high-order numerical forced vibration problems, the majority of which are limited to DQM. To obtain forced vibration solutions using WQEM, the authors propose two different methods to obtain frequency response curves. The obtained results indicate that the frequency response curves generated by either method closely match their DQM counterparts obtained from the literature, and this is despite the low mesh density used for the WQEM systems.

中文翻译：

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基于弱形式正交元法的非局部非线性梯度Timoshenko纳米束自由和强迫振动分析的高阶有限元公式

本文的目的是提供基于弱形式正交元素法（WQEM）的非局部非线性非局部渐变Timoshenko的高阶有限元方法（FEM）公式。此公式提供了FEM的优点和灵活性，而没有限制其低阶精度。除了Eringen的非局部本构模型之外，纳米束理论还解决了vonKármán几何非线性问题。为了通用起见，公式中包含了非线性基础。拟议的公式生成无法使用常规的一阶或二阶插值函数解释的高阶导数项。汉密尔顿原理用于导出使用WQEM离散化的变分表述。使用通过微分正交方法（DQM）解决的类似问题获得的数据来评估无WQEM振动研究的结果。研究表明，WQEM可以提供与DQM相同的精度，并且降低了计算成本。当前，文献描述了少量的高阶数值强迫振动问题，其中大多数限于DQM。为了使用WQEM获得强制振动解，作者提出了两种不同的方法来获得频率响应曲线。获得的结果表明，通过两种方法生成的频率响应曲线都与从文献中获得的DQM曲线非常匹配，尽管WQEM系统使用的网格密度较低。研究表明，WQEM可以提供与DQM相同的精度，并且降低了计算成本。当前，文献描述了少量的高阶数值强迫振动问题，其中大多数限于DQM。为了使用WQEM获得强制振动解，作者提出了两种不同的方法来获得频率响应曲线。获得的结果表明，通过两种方法生成的频率响应曲线都与从文献中获得的DQM曲线非常匹配，尽管WQEM系统使用的网格密度较低。研究表明，WQEM可以提供与DQM相同的精度，并且降低了计算成本。当前，文献描述了少量的高阶数值强迫振动问题，其中大多数限于DQM。为了使用WQEM获得强制振动解，作者提出了两种不同的方法来获得频率响应曲线。获得的结果表明，通过两种方法生成的频率响应曲线都与从文献中获得的DQM曲线非常匹配，尽管WQEM系统使用的网格密度较低。作者提出了两种不同的方法来获得频率响应曲线。获得的结果表明，通过两种方法生成的频率响应曲线都与从文献中获得的DQM曲线非常匹配，尽管WQEM系统使用的网格密度较低。作者提出了两种不同的方法来获得频率响应曲线。获得的结果表明，通过两种方法生成的频率响应曲线都与从文献中获得的DQM曲线非常匹配，尽管WQEM系统使用的网格密度较低。