We study a new notion of cyclic avoidance of abelian powers. A finite word $w$ avoids abelian $N$-powers cyclically if for each abelian $N$-power of period $m$ occurring in the infinite word $w^\omega$, we have $m \geq |w|$. Let $\mathcal{A}(k)$ be the least integer $N$ such that for all $n$ there exists a word of length $n$ over a $k$-letter alphabet that avoids abelian $N$-powers cyclically. Let $\mathcal{A}_\infty(k)$ be the least integer $N$ such that there exist arbitrarily long words over a $k$-letter alphabet that avoid abelian $N$-powers cyclically. We prove that $5 \leq \mathcal{A}(2) \leq 8$, $3 \leq \mathcal{A}(3) \leq 4$, $2 \leq \mathcal{A}(4) \leq 3$, and $\mathcal{A}(k) = 2$ for $k \geq 5$. Moreover, we show that $\mathcal{A}_\infty(2) = 4$, $\mathcal{A}_\infty(3) = 3$, and $\mathcal{A}_\infty(4) = 2$.

中文翻译：

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周期性地避免阿贝尔幂

我们研究了循环避免阿贝尔幂的新概念。一个有限词 $w$ 循环避免了阿贝尔 $N$-powers 如果对于在无限词 $w^\omega$ 中出现的每个周期 $m$ 的阿贝尔 $N$-幂，我们有 $m \geq |w|$ . 令 $\mathcal{A}(k)$ 是最小整数 $N$，使得对于所有 $n$ 存在一个长度为 $n$ 的单词在 $k$-字母字母表上避免了 abelian $N$-powers周期性地。令 $\mathcal{A}_\infty(k)$ 是最小整数 $N$，使得在 $k$-字母字母表上存在任意长的单词，可以避免循环的阿贝尔 $N$-powers。我们证明 $5 \leq \mathcal{A}(2) \leq 8$, $3 \leq \mathcal{A}(3) \leq 4$, $2 \leq \mathcal{A}(4) \leq 3$ , 和 $\mathcal{A}(k) = 2$ 对于 $k \geq 5$。此外，我们证明 $\mathcal{A}_\infty(2) = 4$、$\mathcal{A}_\infty(3) = 3$ 和 $\mathcal{A}_\infty(4) = 2 美元。