We prove two basic structural properties of the algebraic K-theory of rings after K(1)-localization at an implicit prime p. Our first result (also recently obtained by Land–Meier–Tamme by different methods) states that \(L_{K(1)} K(R)\) is insensitive to inverting p on R; we deduce this from recent advances in prismatic cohomology and \(\mathrm {TC}\). Our second result yields a Künneth formula in K(1)-local K-theory for adding p-power roots of unity to R.

中文翻译：

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关于K（1）-局部K-理论的评论

我们证明了在隐式素数p处K（1）定位后环的代数K理论的两个基本结构性质。我们的第一个结果（最近也由Land–Meier–Tamme通过不同方法获得）指出\（L_ {K（1）} K（R）\）对R上的p反转不敏感；我们从棱镜同调和\（\ mathrm {TC} \）的最新进展中推断出这一点。我们的第二结果产生在Künneth式ķ（1） -本地ķ -理论用于添加p -power统一到的根- [R 。