We start by recalling the following theorem of Rohrlich [17]. To state it, let $\unicode[STIX]{x1D714}_{\mathfrak{z}}$ denote half of the size of the stabilizer $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{\mathfrak{z}}$ of $\mathfrak{z}\in \mathbb{H}$ in $\text{SL}_{2}(\mathbb{Z})$ and for a meromorphic function $f:\mathbb{H}\rightarrow \mathbb{C}$ let $\text{ord}_{\mathfrak{z}}(f)$ be the order of vanishing of $f$ at $\mathfrak{z}$ . Moreover, define $\unicode[STIX]{x1D6E5}(z):=q\prod _{n\geqslant 1}(1-q^{n})^{24}$ , where $q:=e^{2\unicode[STIX]{x1D70B}iz}$ , and set $\unicode[STIX]{x1D55B}(z):=\frac{1}{6}\log (y^{6}|\unicode[STIX]{x1D6E5}(z)|)+1$ , where $z=x+iy$ . Rohrlich’s theorem may be stated in terms of the Petersson inner product, denoted by $\langle ~,\,\rangle$ .

中文翻译：

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Rohrlich 定理对 - 函数的扩展

我们首先回顾一下 Rohrlich [17] 的以下定理。陈述它，让 $\unicode[STIX]{x1D714}_{\mathfrak{z}}$ 表示稳定器大小的一半 $\unicode[STIX]{x1D6E4}_{\mathfrak{z}}$ 的 $\mathfrak{z}\in \mathbb{H}$ 在 $\text{SL}_{2}(\mathbb{Z})$ 对于亚纯函数 $f:\mathbb{H}\rightarrow \mathbb{C}$ 让 $\text{ord}_{\mathfrak{z}}(f)$ 是消失的顺序 $f$ 在 $\mathfrak{z}$ . 此外，定义 $\unicode[STIX]{x1D6E5}(z):=q\prod _{n\geqslant 1}(1-q^{n})^{24}$ ， 在哪里 $q:=e^{2\unicode[STIX]{x1D70B}iz}$ , 并设置 $\unicode[STIX]{x1D55B}(z):=\frac{1}{6}\log (y^{6}|\unicode[STIX]{x1D6E5}(z)|)+1$ ， 在哪里 $z=x+iy$ . Rohrlich 定理可以用 Petersson 内积表示，表示为 $\langle ~,\,\rangle$ .