In this paper we continue the formal analysis of the long-time asymptotics of the homoenergetic solutions for the Boltzmann equation that we began in [18]. They have the form f (x, v, t) = g (v − L (t)x, t) where L (t) = A (I + tA) where A is a constant matrix. Homoenergetic solutions satisfy an integro-differential equation which contains, in addition to the classical Boltzmann collision operator, a linear hyperbolic term. Depending on the properties of the collision kernel the collision and the hyperbolic terms might be of the same order of magnitude as t → ∞, or the collision term could be the dominant one for large times, or the hyperbolic term could be the largest. The first case has been rigorously studied in [17]. Formal asymptotic expansions in the second case have been obtained in [18]. All the solutions obtained in this case can be approximated by Maxwellian distributions with changing temperature. In this paper we focus in the case where the hyperbolic terms are much larger than the collision term for large times (hyperbolic-dominated behavior). In the hyperbolicdominated case it does not seem to be possible to describe in a simple way all the long time asymptotics of the solutions, but we discuss several physical situations and formulate precise conjectures. We give explicit formulas for the relationship between density, temperature and entropy for these solutions. These formulas differ greatly from the ones at equilibrium.

中文翻译：

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玻尔兹曼方程的齐能解的长时间渐近。双曲线占优情况

在本文中，我们继续对我们在 [18] 中开始的 Boltzmann 方程的同能解的长时间渐近进行形式分析。它们的形式为 f (x, v, t) = g (v − L (t)x, t) 其中 L (t) = A (I + tA) 其中 A 是一个常数矩阵。同能解满足一个积分微分方程，除了经典的 Boltzmann 碰撞算子之外，该方程还包含一个线性双曲项。根据碰撞核的特性，碰撞和双曲项可能与 t → ∞ 处于同一数量级，或者碰撞项可能在很长一段时间内占主导地位，或者双曲项可能是最大的。[17]对第一种情况进行了严格的研究。在[18]中已经获得了第二种情况下的正式渐近展开式。在这种情况下获得的所有解都可以通过随温度变化的麦克斯韦分布来近似。在本文中，我们关注双曲线项远大于碰撞项的情况（双曲线主导行为）。在双曲线支配的情况下，似乎不可能以简单的方式描述解的所有长时间渐近线，但我们讨论了几种物理情况并制定了精确的猜想。我们给出了这些解的密度、温度和熵之间关系的明确公式。这些公式与平衡时的公式有很大不同。在本文中，我们关注双曲项远大于碰撞项的情况（双曲主导行为）。在双曲线支配的情况下，似乎不可能以简单的方式描述解的所有长时间渐近线，但我们讨论了几种物理情况并制定了精确的猜想。我们给出了这些解的密度、温度和熵之间关系的明确公式。这些公式与平衡时的公式有很大不同。在本文中，我们关注双曲线项远大于碰撞项的情况（双曲线主导行为）。在双曲线支配的情况下，似乎不可能以简单的方式描述解的所有长时间渐近线，但我们讨论了几种物理情况并制定了精确的猜想。我们给出了这些解的密度、温度和熵之间关系的明确公式。这些公式与平衡时的公式有很大不同。这些解的温度和熵。这些公式与平衡时的公式有很大不同。这些解的温度和熵。这些公式与平衡时的公式有很大不同。