Let $M$ be a manifold with a closed, integral $(k+1)$-form $\omega$, and let $G$ be a Fr\'echet-Lie group acting on $(M,\omega)$. As a generalization of the Kostant-Souriau extension for symplectic manifolds, we consider a canonical class of central extensions of $\mathfrak{g}$ by $\mathbb{R}$, indexed by $H^{k-1}(M,\mathbb{R})^*$. We show that the image of $H_{k-1}(M,\mathbb{Z})$ in $H^{k-1}(M,\mathbb{R})^*$ corresponds to a lattice of Lie algebra extensions that integrate to smooth central extensions of $G$ by the circle group $\mathbb{T}$. The idea is to represent a class in $H_{k-1}(M,\mathbb{Z})$ by a weighted submanifold $(S,\beta)$, where $\beta$ is a closed, integral form on $S$. We use transgression of differential characters from $S$ and $ M $ to the mapping space $ C^\infty(S, M) $, and apply the Kostant-Souriau construction on $ C^\infty(S, M) $.

中文翻译：

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保持微分形式的李群的中心扩展

令 $M$ 是一个具有封闭、积分 $(k+1)$-形式 $\omega$ 的流形，令 $G$ 是作用于 $(M,\omega)$ 的 Fr\'echet-Lie 群. 作为辛流形的 Kostant-Souriau 扩展的推广，我们考虑 $\mathfrak{g}$ 由 $\mathbb{R}$ 的中心扩展的规范类，索引为 $H^{k-1}(M ,\mathbb{R})^*$。我们证明 $H_{k-1}(M,\mathbb{Z})$ 在 $H^{k-1}(M,\mathbb{R})^*$ 中的图像对应于 Lie 的格子通过圆群 $\mathbb{T}$ 集成到 $G$ 的平滑中心扩展的代数扩展。这个想法是用加权子流形 $(S,\beta)$ 表示 $H_{k-1}(M,\mathbb{Z})$ 中的一个类，其中 $\beta$ 是一个封闭的积分形式$S$。我们使用从$S$和$M$到映射空间$C^\infty(S,M)$的差分字符的越界，