In this paper, we study the existence of nodal solutions for the Kirchhoff-type problem with concave-convex nonlinearities $\begin{array}{cc}-\left(a+b{\int }_{\mathrm{\Omega }}|\mathrm{\nabla }u{|}^2\mathrm{d}x\right)\mathrm{\Delta }u=\lambda |u{|}^{q-1}u+|u{|}^{p-1}u& \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\Omega },\\ u=0& \mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega },\end{array}$ where Ω is a bounded domain with smooth boundary $\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }$ in $R^N(N=1,2,3)$, a $0<q<1,3<p<5$. By constraining the energy functional of the above problem on a subset of the nodal Nehari set ${\mathcal{M}}_{\lambda }$, we show that there exists a constant ${\lambda }^{\ast }>0$ such that for any $\lambda <{\lambda }^{\ast }$, the above problem has a nodal solution $u_{\lambda }$ with positive energy.

中文翻译：

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具有凹凸非线性的基尔霍夫型问题的节点解

在本文中，我们研究了具有凹凸非线性的 Kirchhoff 型问题的节点解的存在性 $\begin{array}{cc}-\left(\mathrm{一种}+乙{\int }_{\mathrm{\Omega }}|\mathrm{\nabla }你{|}^2\mathrm{d}X\right)\mathrm{\Delta }你=\lambda |你{|}^{q-1}你+|你{|}^{磷-1}你& \mathrm{一世}\mathrm{n}\mathrm{\Omega },\\ 你=0& \mathrm{○}\mathrm{n}\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega },\end{array}$ 其中 Ω 是具有平滑边界的有界域 $\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }$ 在 ${\mathrm{电阻}}^N(N=1,2,3)$， 一种 $0<q<1,3<磷<5$. 通过将上述问题的能量泛函约束在节点 Nehari 集的一个子集上${\mathcal{米}}_{\lambda }$，我们证明存在一个常数 ${\lambda }^{＊}>0$ 使得对于任何 $\lambda <{\lambda }^{＊}$，上述问题有节点解 ${你}_{\lambda }$ 带着正能量。