Given a vector bundle $V$ of rank $r$ over a curve $X$, we define and study a surjective rational map ${\mathrm{Hilb}}^d(\mathbb{P}V)⤍{\mathrm{Quot}}^{0,d}(V^{\ast })$ generalising the natural map ${\mathrm{Sym}}^{d}X\to {\mathrm{Quot}}^{0,d}({\mathcal{O}}_X)$. We then give a generalisation of the geometric Riemann–Roch theorem to vector bundles of higher rank over $X$. We use this to give a geometric description of the tangent cone to the higher rank Brill–Noether locus $B_{r,d}^k$ at a suitable bundle $E$. This gives a generalisation of the Riemann–Kempf singularity theorem. As a corollary, if $k=r$ and $h^0(X,E)=r+n$, we show that the $n$th secant variety of the rank one locus of $\mathbb{P}\mathrm{End}E$ is contained in the tangent cone to $B_{r,d}^r$.

中文翻译：

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高阶Brill-Noether位点的Riemann-Kempf奇异性定理

给定向量束 $V$ 等级 $\mathrm{[R}$ 在曲线上 $X$，我们定义和研究一个射影有理图 ${\mathrm{希伯}}^d（\mathbb{P}V）⤍{\mathrm{报价单}}^{0，d}（V^{\ast }）$ 概括自然图 ${\mathrm{象征}}^{d}X\to {\mathrm{报价单}}^{0，d}（{\mathcal{Ø}}_X）$。然后，我们将几何Riemann-Roch定理推广到向量上更高秩的向量束$X$。我们使用它来对较高等级的Brill–Noether轨迹的切锥进行几何描述${乙}_{\mathrm{[R}，d}^{ķ}$ 以适当的捆绑 $Ë$。这给出了Riemann-Kempf奇异性定理的推广。作为必然，如果$ķ=\mathrm{[R}$ 和 $H^0（X，Ë）=\mathrm{[R}+ñ$，我们证明 $ñ$第一等位基因的割线变种 $\mathbb{P}\mathrm{结束}Ë$ 包含在切线锥中 ${乙}_{\mathrm{[R}，d}^{\mathrm{[R}}$。