We consider four masses in a circular configuration with nearest-neighbour interaction, generalizing the spatially periodic Fermi--Pasta--Ulam-chain where all masses are equal. We identify the mass ratios that produce the $1{:}2{:}4$~resonance --- the normal form in general is non-integrable already at cubic order. Taking two of the four masses equal allows to retain a discrete symmetry of the fully symmetric Fermi--Pasta--Ulam-chain and yields an integrable normal form approximation. The latter is also true if the cubic terms of the potential vanish. We put these cases in context and analyse the resulting dynamics, including a detuning of the $1{:}2{:}4$~resonance within the particle chain.

中文翻译：

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粒子链中的 1:2:4 共振

我们考虑具有最近邻相互作用的圆形配置中的四个质量，概括了空间周期性的费米 - 面食 - 乌拉姆链，其中所有质量都相等。我们确定了产生 $1{:}2{:}4$~共振的质量比——一般的正常形式在立方阶已经是不可积的。取四个质量中的两个相等可以保留完全对称的费米 - 面食 - 乌拉姆链的离散对称性，并产生可积分的范式近似。如果势的三次项消失，后者也成立。我们将这些案例放在上下文中并分析由此产生的动力学，包括粒子链中 $1{:}2{:}4$~共振的失谐。