We consider the existence of affine-periodic solutions to the nonlinear ordinary differential equation:

$\label {ae} x^{\prime }=f(t,x) $(0.1)

in ℝⁿ, where f is continuous and ensures the existence and uniqueness of solutions with respect to initial conditions, and there exist T > 0 and Q ∈ GL(n) such that:

$\label {me} f(t+T,x)=Qf(t,Q^{-1}x) \quad \forall (t,x)\in \mathbb R\times \mathbb R^{n}. $(0.2)

We utilize the asymptotic method to study the existence of Q-affine T-periodic solutions of Eqs. 0.1–0.2. Affine-periodic solutions exhibit a rich variety of complex spatiotemporal pattern, might be periodic, anti-periodic, quasi-periodic, and even unbounded spiral motions.

中文翻译：

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渐近方法的仿射周期解

我们考虑了非线性常微分方程的仿射周期解的存在：

$ \ label {ae} x ^ {\ prime} = f（t，x）$（0.1）

在ℝ ^Ñ，其中˚F是连续的，并确保解决方案的存在唯一相对于初始条件，并且存在Ť > 0且Q ∈ ģ大号（Ñ），使得：

$ \ label {me} f（t + T，x）= Qf（t，Q ^ {-1} x）\ quad \ forall（t，x）\ in \ mathbb R \ times \ mathbb R ^ {n} 。$（0.2）

我们利用渐近方法研究方程的Q-仿射T-周期解的存在性。0.1-0.2。仿射周期解表现出多种复杂的时空模式，可能是周期性的，反周期的，准周期的，甚至是无界的螺旋运动。