We show a Siegel-Weil formula in the setting of exceptional theta correspondence. Using this, together with a new Rankin-Selberg integral for the Spin L-function of $PGSp_6$ discovered by A. Pollack, we prove that a cuspidal representation of $PGSp_6$ is a (weak) functorial lift from the exceptional group $G_2$ if its (partial) Spin L-function has a pole at $s=1$.

中文翻译：

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特殊的 Siegel-Weil 公式和自旋 L 函数的极点

我们在特殊 theta 对应的设置中展示了 Siegel-Weil 公式。使用这一点，连同 A. Pollack 发现的 $PGSp_6$ 自旋 L 函数的新 Rankin-Selberg 积分，我们证明 $PGSp_6$ 的尖点表示是来自例外群 $G_2 的（弱）函子提升$ 如果它的（部分）自旋 L 函数在 $s=1$ 处有一个极点。