Abstract The Brinkman equations can be regarded as a combination of the Stokes and Darcy equations which model transitions between the fast flow in channels (governed by Stokes equations) and the slow flow in porous media (governed by Darcy’s law). The numerical challenge for this model is the designing of a numerical scheme which is stable for both the Stokes-dominated (high permeability) and the Darcy-dominated (low permeability) equations. In this paper, we solve the Brinkman model in n dimensions ( n = 2 , 3 ) by using the mixed discontinuous Galerkin (MDG) method, which meets this challenge. This MDG method is based on the pseudostress–velocity formulation and uses a discontinuous piecewise polynomial pair P k + 1 S - P k ( k ≥ 0 ) , where the stress field is symmetric. The main unknowns are the pseudostress and the velocity, whereas the pressure is easily recovered through a simple postprocessing. A key step in the analysis is to establish the parameter-robust inf–sup stability through specific parameter-dependent norms at both continuous and discrete levels. Therefore, the stability results presented here are uniform with respect to the permeability. Thanks to the parameter-robust stability analysis, we obtain optimal error estimates for the stress in broken H ( div ) -norm and velocity in L 2 -norm. Furthermore, the L 2 error estimate for pseudostress is derived under certain conditions. Finally, numerical experiments are provided to support the theoretical results and to show the robustness, accuracy, and flexibility of the MDG method.

中文翻译：

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基于速度-伪应力公式的 Brinkman 问题的对称应力混合不连续伽辽金方法

摘要 Brinkman 方程可以看作是 Stokes 和 Darcy 方程的组合，它模拟了通道中的快速流动（受 Stokes 方程支配）和多孔介质中的慢速流动（受 Darcy 定律支配）之间的转换。该模型的数值挑战是设计一个对斯托克斯主导（高渗透率）和达西主导（低渗透率）方程都稳定的数值方案。在本文中，我们通过使用混合不连续伽辽金 (MDG) 方法在 n 维 (n = 2 , 3 ) 上求解 Brinkman 模型，满足了这一挑战。此 MDG 方法基于伪应力-速度公式，并使用不连续分段多项式对 P k + 1 S - P k ( k ≥ 0 ) ，其中应力场是对称的。主要的未知数是伪应力和速度，而压力很容易通过简单的后处理恢复。分析中的一个关键步骤是通过在连续和离散水平上的特定参数相关规范来建立参数稳健的 inf-sup 稳定性。因此，这里给出的稳定性结果在渗透率方面是一致的。由于参数稳健性分析，我们获得了破碎 H ( div ) -范数中的应力和 L 2 -范数中的速度的最佳误差估计。此外，伪应力的 L 2 误差估计是在某些条件下导出的。最后，提供了数值实验来支持理论结果并展示 MDG 方法的稳健性、准确性和灵活性。分析中的一个关键步骤是通过在连续和离散水平上的特定参数相关规范来建立参数稳健的 inf-sup 稳定性。因此，这里给出的稳定性结果在渗透率方面是一致的。由于参数稳健性分析，我们获得了破碎 H ( div ) -范数中的应力和 L 2 -范数中的速度的最佳误差估计。此外，伪应力的 L 2 误差估计是在某些条件下导出的。最后，提供了数值实验来支持理论结果并展示 MDG 方法的稳健性、准确性和灵活性。分析中的一个关键步骤是通过在连续和离散水平上的特定参数相关规范来建立参数稳健的 inf-sup 稳定性。因此，这里给出的稳定性结果在渗透率方面是一致的。由于参数稳健性分析，我们获得了破碎 H ( div ) -范数中的应力和 L 2 -范数中的速度的最佳误差估计。此外，伪应力的 L 2 误差估计是在某些条件下导出的。最后，提供了数值实验来支持理论结果并展示 MDG 方法的稳健性、准确性和灵活性。由于参数稳健的稳定性分析，我们获得了破碎 H ( div ) -范数中的应力和 L 2 -范数中的速度的最佳误差估计。此外，伪应力的 L 2 误差估计是在某些条件下导出的。最后，提供了数值实验来支持理论结果并展示 MDG 方法的稳健性、准确性和灵活性。由于参数稳健性分析，我们获得了破碎 H ( div ) -范数中的应力和 L 2 -范数中的速度的最佳误差估计。此外，伪应力的 L 2 误差估计是在某些条件下导出的。最后，提供了数值实验来支持理论结果并展示 MDG 方法的稳健性、准确性和灵活性。