Let ${\cal P}_n^c$ denote the set of all algebraic polynomials of degree at most $n$ with complex coefficients. Let $$D^+ := \{z \in \mathbb{C}: |z| \leq 1, \, \, \Im(z) \geq 0\}$$ be the closed upper half-disk of the complex plane. For integers $0 \leq k \leq n$ let ${\mathcal F}_{n,k}^c$ be the set of all polynomials $P \in {\mathcal P}_n^c$ having at least $n-k$ zeros in $D^+$. Let $$\|f\|_A := \sup_{z \in A}{|f(z)|}$$ for complex-valued functions defined on $A \subset {\Bbb C}$. We prove that there are absolute constants $c_1 > 0$ and $c_2 > 0$ such that $$c_1 \left(\frac{n}{k+1}\right)^{1/2} \leq \inf_{P}{\frac{\|P^{\prime}\|_{[-1,1]}}{\|P\|_{[-1,1]}}} \leq c_2 \left(\frac{n}{k+1}\right)^{1/2}$$ for all integers $0 \leq k \leq n$, where the infimum is taken for all $0 \not\equiv P \in {\mathcal F}_{n,k}^c$ having at least one zero in $[-1,1]$. This is an essentially sharp reverse Markov-type inequality for the classes ${\mathcal F}_{n,k}^c$ extending earlier results of Tur\'an and Komarov from the case $k=0$ to the cases $0 \leq k \leq n$.

中文翻译：

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有限零多项式的图兰型逆马尔可夫不等式

令 ${\cal P}_n^c$ 表示具有复系数的至多 $n$ 次的所有代数多项式的集合。让 $$D^+ := \{z \in \mathbb{C}: |z| \leq 1, \, \, \Im(z) \geq 0\}$$ 是复平面的闭合上半圆盘。对于整数 $0 \leq k \leq n$ 令 ${\mathcal F}_{n,k}^c$ 是所有多项式 $P \in {\mathcal P}_n^c$ 至少具有 $nk 的集合$D^+$ 中的 $ 零。对于定义在 $A \subset {\Bbb C}$ 上的复值函数，令 $$\|f\|_A := \sup_{z \in A}{|f(z)|}$$。我们证明存在绝对常数 $c_1 > 0$ 和 $c_2 > 0$ 使得 $$c_1 \left(\frac{n}{k+1}\right)^{1/2} \leq \inf_{ P}{\frac{\|P^{\prime}\|_{[-1,1]}}{\|P\|_{[-1,1]}}} \leq c_2 \left(\ frac{n}{k+1}\right)^{1/2}$$ 对于所有整数 $0 \leq k \leq n$，其中对所有 $0 \not\equiv P \in {\mathcal 取下界F}_{n, k}^c$ 在 $[-1,1]$ 中至少有一个零。对于 ${\mathcal F}_{n,k}^c$ 类，这是一个本质上尖锐的逆马尔可夫型不等式，将 Tur\'an 和 Komarov 的早期结果从 $k=0$ 的情况扩展到 $0 的情况\leq k \leq n$。