We study the homogeneous Dirichlet problem for a class of nonlocal singular parabolic equations $u_t-div\left({|\nabla u|}^{p\left[u\right]-2}\nabla u\right)=f\text{in }\Omega \times (0,T),$where $\Omega \subset {\mathbb{R}}^d$, $d\ge 2$, is a smooth bounded domain, $p\left[u\right]=p\left(l\left(u\right)\right)$ is a given function with values in the interval $[p^{-},p^{+}]\subset (1,2)$, and $l\left(u\right)={\int }_{\Omega }{\left|u(x,t)\right|}^{\alpha }dx$, $\alpha \in [1,2]$, is a functional of the unknown solution. We find sufficient conditions for global or local in time solvability of the problem, prove the uniqueness, and show that every solution gets extinct in a finite time.

中文翻译：

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关于一类具有 $p\left[ü（X，Ť）\right]$-拉普拉斯算子

我们研究了一类非局部奇异抛物方程的齐次Dirichlet问题 ${ü}_{Ť}-div\left({|\nabla ü|}^{p\left[ü\right]-2}\nabla ü\right)=F\text{在 }\Omega \times （0，Ť），$哪里 $\Omega \subset {\mathbb{[R}}^d$， $d\ge 2$，是一个光滑的有界域， $p\left[ü\right]=p（升（ü））$ 是给定的函数，其值在间隔内 $[p^{-}，p^{+}]\subset （\mathrm{1个}，2）$和 $升（ü）={\int }_{\Omega }{\left|ü（X，Ť）\right|}^{\alpha }dX$， $\alpha \in [\mathrm{1个}，2]$，是未知解决方案的功能。我们为问题的整体或局部解决找到了充分的条件，证明了其唯一性，并表明每种解决方案在有限的时间内都将消失。