In this paper we study $\widetilde{J}$-tangent affine hyperspheres, where $\widetilde{J}$ is the canonical para-complex structure on $\mathbb{R}^{2n+2}$. The main purpose of this paper is to give a classification of $\widetilde{J}$-tangent affine hyperspheres of an arbitrary dimension with an involutive distribution $\mathcal{D}$. In particular we classify all such hyperspheres in the $3$-dimensional case. Some examples of $\widetilde{J}$-tangent affine hyperspheres are also given.

中文翻译：

---

在 $$\widetilde{J}$$-tangent 仿射超球面上

在本文中，我们研究了 $\widetilde{J}$-tangent 仿射超球面，其中 $\widetilde{J}$ 是 $\mathbb{R}^{2n+2}$ 上的规范平行复形结构。本文的主要目的是给出具有对合分布 $\mathcal{D}$ 的任意维度的 $\widetilde{J}$-tangent 仿射超球面的分类。特别是我们在 $3$ 维情况下对所有此类超球面进行分类。还给出了一些 $\widetilde{J}$-tangent 仿射超球面的例子。