In (J. Optim. Theory Appl. 183:139–157, 2019) we introduced and studied the concept of well-posedness in the sense of Tykhonov for abstract problems formulated on metric spaces. Our aim of this current paper is to extend the results in (J. Optim. Theory Appl. 183:139–157, 2019) to a system which consists of two independent problems denoted by P and Q, coupled by a nonlinear equation. Following the terminology used in literature we refer to such a system as a split problem. We introduce the concept of well-posedness for the abstract split problem and provide its characterization in terms of metric properties for a family of approximating sets and in terms of the well-posedness for the problems P and Q, as well. Then we illustrate the applicability of our results in the study of three relevant particular cases: a split variational–hemivariational inequality, an elliptic variational inequality and a history-dependent variational inequality. We describe each split problem and clearly indicate the family of approximating sets. We provide necessary and sufficient conditions which guarantee the well-posedness of the split variational–hemivariational inequality. Moreover, under appropriate assumptions on the data, we prove the well-posedness of the split elliptic variational inequality as well as the well-posedness of the split history-dependent variational inequality. We illustrate our abstract results with various examples, part of them arising in contact mechanics.

中文翻译：

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Tykhonov分裂问题的适定性

在（J. Optim。Theory Appl。183：139-157，2019）中，我们引入了Tykhonov的概念，并研究了度量空间上抽象问题的适定性概念。本文的目的是将（J. Optim。Theory Appl。183：139-157，2019）中的结果扩展到一个系统，该系统包含两个独立的问题，分别由P和Q表示，并加上一个非线性方程。遵循文献中使用的术语，我们将此类系统称为分裂问题。我们介绍了抽象拆分问题的适定性概念，并根据一系列近似集的度量属性以及问题P和Q的适定性提供了其表征。然后，我们将说明我们的结果在研究三个相关特定案例中的适用性：分裂变分-半变分不等式，椭圆变分不等式和历史相关变分不等式。我们描述每个分裂问题，并清楚地指出近似集合的族。我们提供必要和充分的条件，以保证变分-半变异不等式的适定性。此外，在适当的数据假设下，我们证明了分裂椭圆变分不等式的适定性以及分裂历史依赖变分不等式的适定性。我们用各种示例来说明我们的抽象结果，其中的一部分来自接触力学。我们提供必要和充分的条件，以保证变分-半变异不等式的适定性。此外，在适当的数据假设下，我们证明了分裂椭圆变分不等式的适定性以及分裂历史依赖变分不等式的适定性。我们用各种示例来说明我们的抽象结果，其中的一部分来自接触力学。我们提供必要和充分的条件，以保证变分-半变异不等式的适定性。此外，在适当的数据假设下，我们证明了分裂椭圆变分不等式的适定性以及分裂历史依赖变分不等式的适定性。我们用各种示例来说明我们的抽象结果，其中的一部分来自接触力学。