We introduce the analogue of Manin's universal coacting (bialgebra) Hopf algebra for Poisson algebras. First, for two given Poisson algebras $P$ and $U$, where $U$ is finite dimensional, we construct a Poisson algebra $\mathcal{B}(P,\, U)$ together with a Poisson algebra homomorphism $\psi_{\mathcal{B}(P,\,U)} \colon P \to U \otimes \mathcal{B}(P,\, U)$ satisfying a suitable universal property. $\mathcal{B}(P,\, U)$ is shown to admit a Poisson bialgebra structure for any pair of Poisson algebra homomorphisms subject to certain compatibility conditions. If $P=U$ is a finite dimensional Poisson algebra then $\mathcal{B}(P) = \mathcal{B}(P,\, P)$ admits a unique Poisson bialgebra structure such that $\psi_{\mathcal{B}(P)}$ becomes a Poisson comodule algebra and, moreover, the pair $\bigl(\mathcal{B}(P),\, \psi_{\mathcal{B}(P)}\bigl)$ is the universal coacting bialgebra of $P$. The universal coacting Poisson Hopf algebra $\mathcal{H}(P)$ on $P$ is constructed as the initial object in the category of Poisson comodule algebra structures on $P$ by using the free Poisson Hopf algebra on a Poisson bialgebra (\cite{A1}).

中文翻译：

---

通用协同 Poisson Hopf 代数

我们为泊松代数引入 Manin 的通用协同（双代数）Hopf 代数的类似物。首先，对于两个给定的泊松代数 $P$ 和 $U$，其中 $U$ 是有限维的，我们构造泊松代数 $\mathcal{B}(P,\, U)$ 和泊松代数同态 $\ psi_{\mathcal{B}(P,\,U)} \colon P \to U \otimes \mathcal{B}(P,\, U)$ 满足一个合适的普遍性质。$\mathcal{B}(P,\, U)$ 被证明允许任何一对泊松代数同态的泊松双代数结构符合某些兼容性条件。如果 $P=U$ 是有限维泊松代数，则 $\mathcal{B}(P) = \mathcal{B}(P,\, P)$ 承认一个独特的泊松双代数结构，使得 $\psi_{\mathcal {B}(P)}$ 成为泊松余模代数，此外，对 $\bigl(\mathcal{B}(P),\, \psi_{\mathcal{B}(P)}\bigl)$ 是 $P$ 的通用共同作用双代数。使用泊松双代数上的自由泊松霍普夫代数将 $P$ 上的通用协同泊松霍普夫代数 $\mathcal{H}(P)$ 构造为 $P$ 上泊松协模代数结构范畴的初始对象 ( \cite{A1})。