Error-correcting codes that can effectively encode and decode messages of distinct lengths while maintaining a constant blocklength are considered. It is known conventionally that a k -dimensional block code of length n defined over $$\texttt {GF}(q^{n})$$ GF ( q n ) is designed to encode a k -symbol user data in to an n -length codeword, resulting in a fixed-rate coding. In contrast, considering $$q=p^{\lambda }$$ q = p λ , this paper proposes two coding procedures (for the cases of $$\lambda =k$$ λ = k and $$\lambda =n$$ λ = n ) each deriving a multiple-rate code from existing channel codes defined over a composite field $$\texttt {GF}(q^{n})$$ GF ( q n ) . Formally, the proposed coding schemes employ $$\lambda$$ λ codes $${\mathcal {C}}_{1}(\lambda , 1), {\mathcal {C}}_{2}(\lambda , 2), \ldots , {\mathcal {C}}_{\lambda }(\lambda , \lambda )$$ C 1 ( λ , 1 ) , C 2 ( λ , 2 ) , … , C λ ( λ , λ ) defined over $$\texttt {GF}(q)$$ GF ( q ) to encode user messages of distinct lengths and incorporate variable-rate feature. Unlike traditional block codes, the derived multiple-rate codes of fixed blocklength n can be used to encode and decode user messages $$\mathbf{m}$$ m of distinct lengths $$|\mathbf{m}| = 1, 2, \ldots , k, k+1, \ldots , kn$$ | m | = 1 , 2 , … , k , k + 1 , … , k n , thereby supporting a range of information rates—inclusive of the code rates $$1/n^{2}, 2/n^{2},\ldots , k/n^{2}$$ 1 / n 2 , 2 / n 2 , … , k / n 2 and $$1/n, 2/n, \ldots , k/n$$ 1 / n , 2 / n , … , k / n ! A simple decoding procedure to the derived multiple-rate code is also given; in that, orthogonal projectors are employed for the identification of encoded user messages of variable length.

中文翻译：

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多速率纠错编码方案

考虑了能够有效地编码和解码不同长度的消息同时保持恒定块长度的纠错码。传统上已知，在 $$\texttt {GF}(q^{n})$$ GF ( qn ) 上定义的长度为 n 的 ak 维块码旨在将 ak 符号用户数据编码为长度为 n码字，产生固定速率编码。相比之下，考虑到 $$q=p^{\lambda }$$ q = p λ ，本文提出了两种编码程序（对于 $$\lambda =k$$ λ = k 和 $$\lambda =n $$ λ = n ) 每个都从在复合字段 $$\texttt {GF}(q^{n})$$ GF ( qn ) 上定义的现有信道代码中导出多速率代码。形式上，所提出的编码方案采用 $$\lambda$$ λ 代码 $${\mathcal {C}}_{1}(\lambda , 1), {\mathcal {C}}_{2}(\lambda , 2), \ldots , {\mathcal {C}}_{\lambda }(\lambda , \lambda )$$ C 1 ( λ , 1 ) , C 2 ( λ , 2 ) , ... , C λ ( λ , λ ) 定义在 $$\texttt {GF}(q)$$ GF ( q ) 上进行编码不同长度的用户消息并包含可变速率功能。与传统的块码不同，固定块长度 n 的派生多速率码可用于编码和解码不同长度的用户消息 $$\mathbf{m}$$m $$|\mathbf{m}| = 1, 2, \ldots , k, k+1, \ldots , kn$$ | 米| = 1 , 2 , … , k , k + 1 , … , kn ，从而支持一系列信息速率——包括码率 $$1/n^{2}, 2/n^{2},\ldots , k/n^{2}$$ 1 / n 2 , 2 / n 2 , ... , k / n 2 和 $$1/n, 2/n, \ldots , k/n$$ 1 / n , 2 / n , ... , k / n ！还给出了对导出的多速率码的简单解码过程；其中，正交投影仪用于识别可变长度的编码用户消息。1 ) , C 2 ( λ , 2 ) , ... , C λ ( λ , λ ) 定义在 $$\texttt {GF}(q)$$ GF ( q ) 上，用于对不同长度的用户消息进行编码并包含可变速率特征。与传统的块码不同，固定块长度 n 的派生多速率码可用于编码和解码不同长度的用户消息 $$\mathbf{m}$$m $$|\mathbf{m}| = 1, 2, \ldots , k, k+1, \ldots , kn$$ | 米| = 1 , 2 , … , k , k + 1 , … , kn ，从而支持一系列信息速率——包括码率 $$1/n^{2}, 2/n^{2},\ldots , k/n^{2}$$ 1 / n 2 , 2 / n 2 , ... , k / n 2 和 $$1/n, 2/n, \ldots , k/n$$ 1 / n , 2 / n , ... , k / n ！还给出了对导出的多速率码的简单解码过程；其中，正交投影仪用于识别可变长度的编码用户消息。1 ) , C 2 ( λ , 2 ) , ... , C λ ( λ , λ ) 定义在 $$\texttt {GF}(q)$$ GF ( q ) 上，用于对不同长度的用户消息进行编码并包含可变速率特征。与传统的块码不同，固定块长度 n 的派生多速率码可用于编码和解码不同长度的用户消息 $$\mathbf{m}$$m $$|\mathbf{m}| = 1, 2, \ldots , k, k+1, \ldots , kn$$ | 米| = 1 , 2 , … , k , k + 1 , … , kn ，从而支持一系列信息速率——包括码率 $$1/n^{2}, 2/n^{2},\ldots , k/n^{2}$$ 1 / n 2 , 2 / n 2 , ... , k / n 2 和 $$1/n, 2/n, \ldots , k/n$$ 1 / n , 2 / n , ... , k / n ！还给出了对导出的多速率码的简单解码过程；其中，正交投影仪用于识别可变长度的编码用户消息。λ ) 定义在 $$\texttt {GF}(q)$$ GF ( q ) 上以编码不同长度的用户消息并结合可变速率特征。与传统的块码不同，固定块长度 n 的派生多速率码可用于编码和解码不同长度的用户消息 $$\mathbf{m}$$m $$|\mathbf{m}| = 1, 2, \ldots , k, k+1, \ldots , kn$$ | 米| = 1 , 2 , … , k , k + 1 , … , kn ，从而支持一系列信息速率——包括码率 $$1/n^{2}, 2/n^{2},\ldots , k/n^{2}$$ 1 / n 2 , 2 / n 2 , ... , k / n 2 和 $$1/n, 2/n, \ldots , k/n$$ 1 / n , 2 / n , ... , k / n ！还给出了对导出的多速率码的简单解码过程；其中，正交投影仪用于识别可变长度的编码用户消息。λ ) 定义在 $$\texttt {GF}(q)$$ GF ( q ) 上以编码不同长度的用户消息并结合可变速率特征。与传统的块码不同，固定块长度 n 的派生多速率码可用于编码和解码不同长度的用户消息 $$\mathbf{m}$$m $$|\mathbf{m}| = 1, 2, \ldots , k, k+1, \ldots , kn$$ | 米| = 1 , 2 , … , k , k + 1 , … , kn ，从而支持一系列信息速率——包括码率 $$1/n^{2}, 2/n^{2},\ldots , k/n^{2}$$ 1 / n 2 , 2 / n 2 , ... , k / n 2 和 $$1/n, 2/n, \ldots , k/n$$ 1 / n , 2 / n , ... , k / n ！还给出了对导出的多速率码的简单解码过程；其中，正交投影仪用于识别可变长度的编码用户消息。