Let $I_v\left(x\right)$ be he modified Bessel function of the first kind of order v. We prove the double inequality $\sqrt{\frac{sinht}{t}{cosh}^{1/q}\left(qt\right)}<I_0\left(t\right)<\sqrt{\frac{sinht}{t}{cosh}^{1/p}\left(pt\right)}$ holds for $t>0$ if and only if $p\ge 2/3$ and $q\le \left(ln2\right)/ln\pi$ . The corresponding inequalities for means improve already known results.

中文翻译：

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第一类和Toader-Qi均值的修正贝塞尔函数的新锐界

让 ${\mathrm{一世}}_v\left(X\right)$ 是否修改了第一类v的Bessel函数。我们证明了双重不平等 $\sqrt{\frac{辛Ť}{Ť}{科什}^{\mathrm{1个}/q}\left(qŤ\right)}<{\mathrm{一世}}_0\left(Ť\right)<\sqrt{\frac{辛Ť}{Ť}{科什}^{\mathrm{1个}/p}\left(pŤ\right)}$ 持有 $Ť>0$ 当且仅当 $p\ge 2/3$ 和 $q\le \left(ln2\right)/ln\pi$ 。均值的相应不等式改善了已知结果。