Let $${\mathscr {G}}$$ G be the class of all finite groups and consider the function $$\psi '':{\mathscr {G}}\longrightarrow (0,1]$$ ψ ′ ′ : G ⟶ ( 0 , 1 ] , given by $$\psi ''(G)=\frac{\psi (G)}{|G|^2}$$ ψ ′ ′ ( G ) = ψ ( G ) | G | 2 , where $$\psi (G)$$ ψ ( G ) is the sum of element orders of a finite group G . In this paper, we show that the image of $$\psi ''$$ ψ ′ ′ is a dense set in [0, 1]. Also, we study the injectivity and the surjectivity of $$\psi ''$$ ψ ′ ′ .

中文翻译：

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有限群的元素阶数之和的密度结果

令 $${\mathscr {G}}$$ G 是所有有限群的类，并考虑函数 $$\psi '':{\mathscr {G}}\longrightarrow (0,1]$$ ψ ′ ′ : G ⟶ ( 0 , 1 ] , 由 $$\psi ''(G)=\frac{\psi (G)}{|G|^2}$$ ψ ′ ′ ( G ) = ψ ( G ) 给出| G | 2 , 其中 $$\psi (G)$$ ψ ( G ) 是有限群 G 的元素阶数之和. 在本文中，我们展示了 $$\psi ''$$ ψ 的图像′ ′ 是 [0, 1] 中的稠密集。此外，我们研究了 $$\psi ''$$ ψ ′ ′ 的注入性和满射性。