Abstract

The main fields of application of formal groups are algebraic geometry and class field theory. The later uses both the classical Hilbert symbol (the norm-residue symbol) and its generalization. One of the most important problems is finding explicit formulas for various modifications of this symbol related to formal groups. There are two approaches to constructing formal groups (i.e., power series satisfying certain conditions). The functional lemma proved by Hazewinkel allows one to make formal groups with coefficients from a ring of characteristic zero by means of functional equations using a certain ideal of this ring, an overfield of the ring, and a ring homomorphism with specified properties (e.g., identical; for a local field, the Frobenius homomorphism can be chosen). There is a convenient criterion for the isomorphism of formal groups, constructed by Hazewinkel’s formula, as well as a formula for logarithms (in particular, the Artin–Hasse logarithm). At the same time, Lubin and Tate construct formal groups over local fields, using isogeny, and Honda, when constructing formal groups over the ring of integers of a discrete valued field of characteristic zero, introduces a certain noncommutative ring induced by the original ring and a fixed homomorphism. The paper relates the classical classification of formal groups (standard, generalized, relative Lubin–Tate formal groups, and formal Honda groups) to their classification using the Hazewinkel functional lemma. For each type, the corresponding functional equations are composed and logarithms, as well as series used to construct an explicit formula for the Hilbert symbol, are studied.

中文翻译：

---

Hazewinkel功能引理与形式群分类

摘要

形式群的主要应用领域是代数几何和类场理论。后者同时使用经典的希尔伯特符号（范数残差符号）及其概括。最重要的问题之一是找到与正式团体有关的对该符号进行各种修改的明确公式。有两种构造形式组的方法（即，满足一定条件的幂级数）。Hazewinkel证明的函数引理允许一个方程组使用特征环的某个理想值，该环的一个过环场和一个具有特定性质（例如相同；对于局部场，可以选择Frobenius同态）。对于形式群的同构有一个方便的准则，由Hazewinkel的公式以及对数公式（尤其是Artin-Hasse对数）构造而成。同时，Lubin和Tate利用等值线在局部场上构造形式群，而Honda在特征零的离散值场的整数环上构造形式群时，引入了由原始环和固定的同态 本文使用Hazewinkel功能引理将形式组（标准，广义，相对Lubin–Tate形式组和本田形式组）的经典分类与它们的分类相关联。对于每种类型，都组成了相应的功能方程，并研究了对数以及用于构造希尔伯特符号显式的对数。以及对数公式（尤其是Artin-Hasse对数）。同时，Lubin和Tate利用等值线在局部场上构造形式群，而Honda在特征零的离散值场的整数环上构造形式群时，引入了由原始环和固定的同态 本文使用Hazewinkel功能引理将形式组（标准，广义，相对Lubin–Tate形式组和本田形式组）的经典分类与它们的分类相关联。对于每种类型，都组成了相应的功能方程，并研究了对数以及用于构造希尔伯特符号显式的对数。以及对数公式（尤其是Artin-Hasse对数）。同时，Lubin和Tate利用等值线在局部场上构造形式群，而Honda在特征零的离散值场的整数环上构造形式群时，引入了由原始环和固定的同态 本文使用Hazewinkel功能引理将形式组（标准，广义，相对Lubin–Tate形式组和本田形式组）的经典分类与它们的分类相关联。对于每种类型，都组成了相应的功能方程，并研究了对数以及用于构造希尔伯特符号显式的对数。鲁宾和泰特利用等值基因在局部场上构造形式群，而本田在特性零的离散值场的整数环上构造形式群时，引入了由原始环和固定同态性诱导的某些非交换环。本文使用Hazewinkel功能引理将形式组（标准，广义，相对Lubin–Tate形式组和本田形式组）的经典分类与它们的分类相关联。对于每种类型，都组成了相应的功能方程，并研究了对数以及用于构造希尔伯特符号的显式公式的对数。鲁宾和泰特利用等值基因在局部场上构造形式群，而本田在特性零的离散值场的整数环上构造形式群时，引入了由原始环和固定同态性诱导的某些非交换环。本文使用Hazewinkel功能引理将形式组（标准，广义，相对Lubin–Tate形式组和本田形式组）的经典分类与它们的分类相关联。对于每种类型，都组成了相应的功能方程，并研究了对数以及用于构造希尔伯特符号显式的对数。当在特征零的离散值字段的整数环上构造形式组时，引入由原始环和固定同态引起的某个非交换环。本文使用Hazewinkel功能引理将形式组（标准，广义，相对Lubin–Tate形式组和本田形式组）的经典分类与它们的分类相关联。对于每种类型，都组成了相应的功能方程，并研究了对数以及用于构造希尔伯特符号显式的对数。当在特征零的离散值字段的整数环上构造形式组时，引入由原始环和固定同态引起的某个非交换环。本文使用Hazewinkel功能引理将形式组（标准，广义，相对Lubin–Tate形式组和本田形式组）的经典分类与它们的分类相关联。对于每种类型，都组成了相应的功能方程，并研究了对数以及用于构造希尔伯特符号显式的对数。以及正式的本田集团）使用Hazewinkel功能引理对其进行分类。对于每种类型，都组成了相应的功能方程，并研究了对数以及用于构造希尔伯特符号显式的对数。以及正式的本田集团）使用Hazewinkel功能引理对其进行分类。对于每种类型，都组成了相应的功能方程，并研究了对数以及用于构造希尔伯特符号显式的对数。