Abstract

In this paper, an automatic control discrete-time system of the second order is studied. The nonlinearity of this system satisfies the generalized Routh–Hurwitz condition. Systems of this type are widely used in solving modern applied problems of the theory of automatic control. This work is a continuation of the results of research presented in the paper “On the Problem of Aizerman: Coefficient Conditions for the Existence of a Four-Period Cycle in a Second-Order Discrete-Time System,” in which systems with two-periodic nonlinearity lying in the Hurwitz angle were studied. In above-mentioned paper, the conditions on the parameters under which a system with two-periodic nonlinearity can possess a family of nonisolated four-period cycles are indicated and a method for constructing such nonlinearity is proposed. In the current paper, we assume that the nonlinearity is three-periodic and lies in a Hurwitz angle. We study a system for all possible parameter values. We explicitly present the conditions for the parameters under which it is possible to construct a three-periodic nonlinearity in such a way that a system with specified nonlinearity is not globally asymptotically stable. We show that a family of three-period cycles and a family of six-period cycles can exist in the system with this nonlinearity. A method for constructing such nonlinearities is proposed. The cycles are nonisolated; any solution of the system with the initial data, which lies on a certain specified ray, is a periodic solution.

中文翻译：

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关于Aizerman问题：二阶离散系统中三周期和六周期周期存在的系数条件

摘要

本文研究了二阶自动控制离散时间系统。该系统的非线性满足广义的Routh-Hurwitz条件。这种类型的系统广泛用于解决自动控制理论的现代应用问题。这项工作是对“关于Aizerman问题：二阶离散系统中存在四个周期周期的系数条件”论文中提出的研究结果的延续，其中具有两个周期的系统研究了Hurwitz角的非线性。在上述论文中，指出了具有两个周期非线性系统可以拥有一族非隔离的四个周期周期的参数的条件，并提出了构造此类非线性的方法。在当前的论文中，我们假设非线性是三周期的，并且处于Hurwitz角。我们研究了所有可能参数值的系统。我们明确提出了参数条件，在该条件下可以构造三周期非线性，使得具有指定非线性的系统不是全局渐近稳定的。我们证明，在具有这种非线性的系统中，可以存在一个三周期周期族和一个六周期周期族。提出了一种构造这种非线性的方法。循环是非隔离的；具有初始数据（位于特定指定射线上）的系统的任何解决方案都是周期解决方案。我们明确提出了参数条件，在该条件下可以构造三周期非线性，使得具有指定非线性的系统不是全局渐近稳定的。我们证明，在具有这种非线性的系统中，可以存在一个三周期周期族和一个六周期周期族。提出了一种构造这种非线性的方法。循环是非隔离的；具有初始数据（位于特定指定射线上）的系统的任何解决方案都是周期解决方案。我们明确提出了参数条件，在该条件下可以构造三周期非线性，使得具有指定非线性的系统不是全局渐近稳定的。我们证明，在具有这种非线性的系统中，可以存在一个三周期周期族和一个六周期周期族。提出了一种构造这种非线性的方法。循环是非隔离的；具有初始数据（位于特定指定射线上）的系统的任何解决方案都是周期解决方案。提出了一种构造这种非线性的方法。循环是非隔离的；具有初始数据（位于特定指定射线上）的系统的任何解决方案都是周期解决方案。提出了一种构造这种非线性的方法。循环是非隔离的；具有初始数据（位于特定指定射线上）的系统的任何解决方案都是周期解决方案。