Abstract Given a monoid S acting (on the left) on a set X, all the subsets of X which are invariant with respect to such an action constitute the family of the closed subsets of an Alexandroff topology on X. Conversely, we prove that any Alexandroff topology may be obtained through a monoid action. Based on such a link between monoid actions and Alexandroff topologies, we firstly establish several topological properties for Alexandroff spaces bearing in mind specific examples of monoid actions. Secondly, given an Alexandroff space X with associated topological closure operator σ, we introduce a specific notion of dependence on union of subsets. Then, in relation to such a dependence, we study the family 𝒜 σ , X {\mathcal{A}_{\sigma,X}} of the closed subsets Y of X such that, for any y 1 , y 2 ∈ Y {y_{1},y_{2}\in Y} , there exists a third element y ∈ Y {y\in Y} whose closure contains both y 1 {y_{1}} and y 2 {y_{2}} . More in detail, relying on some specific properties of the maximal members of the family 𝒜 σ , X {\mathcal{A}_{\sigma,X}} , we provide a decomposition theorem regarding an Alexandroff space as the union (not necessarily disjoint) of a pair of closed subsets characterized by such a dependence. Finally, we refine the study of the aforementioned decomposition through a descending chain of closed subsets of X of which we give some examples taken from specific monoid actions.

中文翻译：

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Alexandroff 拓扑和幺半群行动

摘要 给定一个作用于集合 X 的幺半群 S（在左边），X 的所有对这样一个动作不变的子集构成了 X 上的 Alexandroff 拓扑的闭子集族。反过来，我们证明任何Alexandroff 拓扑可以通过幺半群动作获得。基于幺半群动作和 Alexandroff 拓扑之间的这种联系，我们首先考虑了幺半群动作的具体例子，为 Alexandroff 空间建立了几个拓扑属性。其次，给定一个 Alexandroff 空间 X 和关联的拓扑闭包算子 σ，我们引入了一个特定的依赖于子集联合的概念。然后，关于这种依赖关系，我们研究 X 的封闭子集 Y 的族 𝒜 σ , X {\mathcal{A}_{\sigma,X}} 使得，对于任何 y 1 ，y 2 ∈ Y {y_{1},y_{2}\in Y} , 存在第三个元素 y ∈ Y {y\in Y} ，其闭包包含 y 1 {y_{1}} 和 y 2 {y_{2}} 。更详细地说，依赖于族 𝒜 σ , X {\mathcal{A}_{\sigma,X}} 的最大成员的一些特定属性，我们提供了一个关于 Alexandroff 空间作为并集的分解定理（不一定不相交）的一对以这种依赖性为特征的封闭子集。最后，我们通过 X 的封闭子集的降序链来细化上述分解的研究，其中我们给出了一些取自特定幺半群行动的例子。我们提供了一个分解定理，将 Alexandroff 空间视为一对以这种依赖为特征的封闭子集的并集（不一定是不相交的）。最后，我们通过 X 的封闭子集的降序链来细化上述分解的研究，其中我们给出了一些取自特定幺半群行动的例子。我们提供了一个分解定理，将 Alexandroff 空间视为一对以这种依赖为特征的封闭子集的并集（不一定是不相交的）。最后，我们通过 X 的封闭子集的降序链来细化上述分解的研究，其中我们给出了一些取自特定幺半群行动的例子。