For a finite group $G$, define $l(G)=(\prod _{g\in G}o(g))^{1/|G|}/|G|$, where $o(g)$ denotes the order of $g\in G$. We prove that if $l(G)>l(A_{5}),l(G)>l(A_{4}),l(G)>l(S_{3}),l(G)>l(Q_{8})$ or $l(G)>l(C_{2}\times C_{2})$, then $G$ is solvable, supersolvable, nilpotent, abelian or cyclic, respectively.

中文翻译：

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有限群的性质由它们的元素顺序的乘积决定

对于有限群$G$， 定义$l(G)=(\prod_{g\in G}o(g))^{1/|G|}/|G|$， 在哪里$o(g)$表示顺序$g\in G$. 我们证明如果$l(G)>l(A_{5}),l(G)>l(A_{4}),l(G)>l(S_{3}),l(G)>l(Q_{8 })$要么$l(G)>l(C_{2}\times C_{2})$， 然后$G$分别是可解的、超可解的、幂零的、阿贝尔的或循环的。