We study the number of nodal domains in balls shrinking slightly above the Planck scale for "generic" toral eigenfunctions. We prove that, up to the natural scaling, the nodal domains count obeys the same asymptotic law as the global number of nodal domains. The proof, on one hand, uses new arithmetic information to refine Bourgain's de-randomisation technique at Planck scale. And on the other hand, it requires a Planck scale version of Yau's conjecture which we believe to be of independent interest.

中文翻译：

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环本征函数的普朗克尺度节点域数

我们研究了球中节点域的数量在“通用”环特征函数的普朗克尺度上略有收缩。我们证明，在自然缩放之前，节点域计数与全局节点域数遵循相同的渐近律。一方面，该证明使用新的算术信息在普朗克尺度上改进 Bourgain 的去随机化技术。另一方面，它需要丘猜想的普朗克尺度版本，我们认为它具有独立意义。