Let f be the characteristic function of a probability measure μ f on ℝ n , and let σ > 0. We study the following extrapolation problem: under what conditions on the neighborhood of infinity V σ = { x ∈ ℝ n : | x k | > σ , k = 1, … n } in ℝ n does there exist a characteristic function g on ℝ n , such that g = f on V σ but g ≢ f ? Let μ f have a nonzero absolutely continuous part with continuous density 𝜑 . In this paper, we give certain sufficient conditions on 𝜑 and V σ under which the latter question has an affirmative answer. We also address the optimality of these conditions. Our results indicate that not only does the size of both V σ and the support supp 𝜑 matter, but also certain arithmetic properties of supp 𝜑 .

中文翻译：

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一个特征函数的外推问题

设 f 为 ℝ n 上的概率测度 μ f 的特征函数，令 σ > 0。我们研究以下外推问题：在无穷远邻域 V σ = { x ∈ ℝ n 上的什么条件下： | xk | > σ , k = 1, … n } 在 ℝ n 上是否存在一个特征函数 g 在 ℝ n 上，使得 g = f 在 V σ 上但 g ≢ f ？令 μ f 有一个非零绝对连续部分，具有连续密度 𝜑 。在本文中，我们对 𝜑 和 V σ 给出了一定的充分条件，在这些条件下后一个问题有肯定的答案。我们还解决了这些条件的优化问题。我们的结果表明，不仅 V σ 和支持 supp 𝜑 的大小都很重要，而且 supp 𝜑 的某些算术性质也很重要。