Let $a$ be a finite signed measure on $[-r, 0]$ with $r \in (0, \infty)$. Consider a stochastic process $(X^{(\vartheta)}(t))_{t\in[-r,\infty)}$ given by a linear stochastic delay differential equation \[ \mathrm{d} X^{(\vartheta)}(t) = \vartheta \int_{[-r,0]} X^{(\vartheta)}(t + u) \, a(\mathrm{d} u) \, \mathrm{d} t + \mathrm{d} W(t) , \qquad t \ge 0, \] where $\vartheta \in \mathbb{R}$ is a parameter and $(W(t))_{t\ge 0}$ is a standard Wiener process. Consider a point $\vartheta \in \mathbb{R}$, where this model is unstable in the sense that it is locally asymptotically Brownian functional with certain scalings $(r_{\vartheta,T})_{T\in(0,\infty)}$ satisfying $r_{\vartheta,T} \to 0$ as $T \to \infty$. A family $\{(X^{(\vartheta_T)}(t))_{t\in[-r,T]} : T \in (0, \infty)\}$ is said to be nearly unstable as $T \to \infty$ if $\vartheta_T \to \vartheta$ as $T \to \infty$. For every $\alpha \in \mathbb{R}$, we prove convergence of the likelihood ratio processes of the nearly unstable families $\{(X^{(\vartheta+\alpha \ r_{\vartheta,T})}(t))_{t\in[-r,T]}: T \in (0, \infty)\}$ as $T \to \infty$. As a consequence, we obtain weak convergence of the maximum likelihood estimator $\hat{\alpha}_T$ of $\alpha$ based on the observations $(X^{(\vartheta+\alpha \ r_{\vartheta,T})}(t))_{t\in[-r,T]}$ as $T \to \infty$. It turns out that the limit distribution of $\hat{\alpha}_T$ as $T \to \infty$ can be represented as the maximum likelihood estimator of a parameter of a process satisfying a stochastic differential equation without time delay.

中文翻译：

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由具有时滞的随机微分方程给出的近乎不稳定的随机过程族

令 $a$ 是 $[-r, 0]$ 上的有限符号测度，其中 $r \in (0, \infty)$。考虑由线性随机延迟微分方程 \[ \mathrm{d} X^{ 给出的随机过程 $(X^{(\vartheta)}(t))_{t\in[-r,\infty)}$ (\vartheta)}(t) = \vartheta \int_{[-r,0]} X^{(\vartheta)}(t + u) \, a(\mathrm{d} u) \, \mathrm{ d} t + \mathrm{d} W(t) , \qquad t \ge 0, \] 其中 $\vartheta \in \mathbb{R}$ 是一个参数和 $(W(t))_{t\ ge 0}$ 是标准的维纳过程。考虑一个点 $\vartheta \in \mathbb{R}$，该模型是不稳定的，因为它是局部渐近布朗函数，具有某些标度 $(r_{\vartheta,T})_{T\in(0 ,\infty)}$ 满足 $r_{\vartheta,T} \to 0$ 作为 $T \to \infty$。一个家庭 $\{(X^{(\vartheta_T)}(t))_{t\in[-r,T]} : T \in (0, 如果 $\vartheta_T \to \vartheta$ 作为 $T \to \infty$，则 \infty)\}$ 被认为是几乎不稳定的 $T \to \infty$。对于每一个 $\alpha \in \mathbb{R}$，我们证明了几乎不稳定家族的似然比过程 $\{(X^{(\vartheta+\alpha \r_{\vartheta,T})}( t))_{t\in[-r,T]}: T \in (0, \infty)\}$ 作为 $T \to \infty$。因此，我们基于观测值 $(X^{(\vartheta+\alpha \r_{\vartheta,T}) 获得了 $\alpha$ 的最大似然估计量 $\hat{\alpha}_T$ 的弱收敛}(t))_{t\in[-r,T]}$ 作为 $T \to \infty$。事实证明，$\hat{\alpha}_T$ 作为 $T \to \infty$ 的极限分布可以表示为满足无时滞随机微分方程的过程参数的最大似然估计量。我们证明了几乎不稳定家族的似然比过程的收敛性 $\{(X^{(\vartheta+\alpha \r_{\vartheta,T})}(t))_{t\in[-r,T] }: T \in (0, \infty)\}$ 作为 $T \to \infty$。因此，我们基于观测值 $(X^{(\vartheta+\alpha \r_{\vartheta,T}) 获得了 $\alpha$ 的最大似然估计量 $\hat{\alpha}_T$ 的弱收敛}(t))_{t\in[-r,T]}$ 作为 $T \to \infty$。事实证明，$\hat{\alpha}_T$ 作为 $T \to \infty$ 的极限分布可以表示为满足无时滞随机微分方程的过程参数的最大似然估计量。我们证明了几乎不稳定家族的似然比过程的收敛性 $\{(X^{(\vartheta+\alpha \r_{\vartheta,T})}(t))_{t\in[-r,T] }: T \in (0, \infty)\}$ 作为 $T \to \infty$。因此，我们基于观测值 $(X^{(\vartheta+\alpha \r_{\vartheta,T}) 获得了 $\alpha$ 的最大似然估计量 $\hat{\alpha}_T$ 的弱收敛}(t))_{t\in[-r,T]}$ 作为 $T \to \infty$。事实证明，$\hat{\alpha}_T$ 作为 $T \to \infty$ 的极限分布可以表示为满足无时滞随机微分方程的过程参数的最大似然估计量。我们根据观测值 $(X^{(\vartheta+\alpha \r_{\vartheta,T})}(t) 获得了 $\alpha$ 的最大似然估计量 $\hat{\alpha}_T$ 的弱收敛)_{t\in[-r,T]}$ 作为 $T \to \infty$。事实证明，$\hat{\alpha}_T$ 作为 $T \to \infty$ 的极限分布可以表示为满足无时滞随机微分方程的过程参数的最大似然估计量。我们根据观测值 $(X^{(\vartheta+\alpha \r_{\vartheta,T})}(t) 获得了 $\alpha$ 的最大似然估计量 $\hat{\alpha}_T$ 的弱收敛)_{t\in[-r,T]}$ 作为 $T \to \infty$。事实证明，$\hat{\alpha}_T$ 作为 $T \to \infty$ 的极限分布可以表示为满足无时滞随机微分方程的过程参数的最大似然估计量。