In this paper we will extend to non-abelian groups inverse spectral results, proved by us in an earlier paper, for compact abelian groups, i.e. tori. More precisely, Let $\mathsf G$ be a compact Lie group acting isometrically on a compact Riemannian manifold $X$. We will show that for the Schr\"odinger operator $-\hbar^2 \Delta+V$ with $V \in C^\infty(X)^{\mathsf G}$, the potential function $V$ is, in some interesting examples, determined by the $\mathsf G$-equivariant spectrum. The key ingredient in this proof is a generalized Legendrian relation between the Lagrangian manifolds $\mathrm{Graph}(dV)$ and $\mathrm{Graph}(dF)$, where $F$ is a spectral invariant defined on an open subset of the positive Weyl chamber.

中文翻译：

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非阿贝尔群作用的逆谱结果

在这篇论文中，我们将扩展到非阿贝尔群的逆谱结果，我们在之前的论文中证明了，对于紧凑的阿贝尔群，即 tori。更准确地说，令 $\mathsf G$ 是一个紧致李群，等距作用于紧致黎曼流形 $X$。我们将证明对于 Schr\"odinger 算子 $-\hbar^2 \Delta+V$ 和 $V \in C^\infty(X)^{\mathsf G}$，势函数 $V$ 是，在一些有趣的例子中，由 $\mathsf G$-等变谱决定。这个证明的关键要素是拉格朗日流形 $\mathrm{Graph}(dV)$ 和 $\mathrm{Graph}( dF)$，其中 $F$ 是定义在正外尔室的开放子集上的谱不变量。