Given a graph H and a set of graphs $\mathcal{F}$, let $ex(n,H,\mathcal{F})$ denote the maximum possible number of copies of H in an $\mathcal{F}$-free graph on n vertices. We investigate the function $ex(n,H,\mathcal{F})$, when H and members of $\mathcal{F}$ are cycles. Let $C_k$ denote the cycle of length k and let ${\mathcal{C}}_k=\{C_3,C_4,\dots ,C_k\}$. We highlight the main results below.

(i)

We show that $ex(n,C_{2l},C_{2k})=\mathrm{\Theta }(n^l)$ for any $l,k\ge 2$. Moreover, in some cases we determine it asymptotically: We show that $ex(n,C_4,C_{2k})=(1+o(1))\frac{(k-1)(k-2)}{4}{n}^2$ and that the maximum possible number of $C_6$'s in a $C_8$-free bipartite graph is $n^3+O(n^{5/2})$.

(ii)

Erdős's Girth Conjecture states that for any positive integer k, there exist a constant $c>0$ depending only on k, and a family of graphs $\{G_n\}$ such that $|V(G_n)|=n$, $|E(G_n)|\ge c{n}^{1+1/k}$ with girth more than 2k.

Solymosi and Wong [37] proved that if this conjecture holds, then for any $l\ge 3$ we have $ex(n,C_{2l},{\mathcal{C}}_{2l-1})=\mathrm{\Theta }(n^{2l/(l-1)})$. We prove that their result is sharp in the sense that forbidding any other even cycle decreases the number of $C_{2l}$'s significantly: For any $k>l$, we have $ex(n,C_{2l},{\mathcal{C}}_{2l-1}\cup \{C_{2k}\})=\mathrm{\Theta }(n^2)$. More generally, we show that for any $k>l$ and $m\ge 2$ such that $2k\ne ml$, we have $ex(n,C_{ml},{\mathcal{C}}_{2l-1}\cup \{C_{2k}\})=\mathrm{\Theta }(n^m)$.

(iii)

We prove $ex(n,C_{2l+1},{\mathcal{C}}_{2l})=\mathrm{\Theta }(n^{2+1/l})$, provided a stronger version of Erdős's Girth Conjecture holds (which is known to be true when $l=2,3,5$). This result is also sharp in the sense that forbidding one more cycle decreases the number of $C_{2l+1}$'s significantly: More precisely, we have $ex(n,C_{2l+1},{\mathcal{C}}_{2l}\cup \{C_{2k}\})=O(n^{2-\frac{1}{l+1}})$, and $ex(n,C_{2l+1},{\mathcal{C}}_{2l}\cup \{C_{2k+1}\})=O(n^2)$ for $l>k\ge 2$.

(iv)

We also study the maximum number of paths of given length in a $C_k$-free graph, and prove asymptotically sharp bounds in some cases.

给定一个图H和一组图$\mathcal{F}$，让 $ËX（ñ，H，\mathcal{F}）$表示一个H中H的最大可能副本数$\mathcal{F}$n个顶点上的免费图形。我们调查功能$ËX（ñ，H，\mathcal{F}）$，当H和的成员$\mathcal{F}$是周期。让$C_{ķ}$表示长度为k的周期，令${\mathcal{C}}_{ķ}=\{C_3，C_4，\dots ，C_{ķ}\}$。我们在下面突出显示主要结果。

（一世）

我们证明 $ËX（ñ，C_{2升}，C_{2ķ}）=\mathrm{\Theta }（{ñ}^{升}）$ 对于任何 $升，ķ\ge 2$。此外，在某些情况下，我们渐近确定：$ËX（ñ，C_4，C_{2ķ}）=（\mathrm{1个}+Ø（\mathrm{1个}））\frac{（ķ-\mathrm{1个}）（ķ-2）}{4}{ñ}^2$ 并且最大可能数量 $C_6$在 $C_8$无二部图是 ${ñ}^3+Ø（{ñ}^{5/2}）$。

（ii）

Erdős的周长猜想指出，对于任何正整数k，存在一个常数$C>0$仅取决于k和一系列图$\{G_{ñ}\}$ 这样 $|V（G_{ñ}）|=ñ$， $|Ë（G_{ñ}）|\ge C{ñ}^{\mathrm{1个}+\mathrm{1个}/ķ}$周长超过2 k。

Solymosi和Wong [37]证明，如果这个猜想成立，那么对于任何 $升\ge 3$ 我们有 $ËX（ñ，C_{2升}，{\mathcal{C}}_{2升-\mathrm{1个}}）=\mathrm{\Theta }（{ñ}^{2升/（升-\mathrm{1个}）}）$。我们证明，在禁止其他偶数周期会减少次数的意义上，它们的结果是很清晰的$C_{2升}$重要的是：对于任何 $ķ>升$， 我们有 $ËX（ñ，C_{2升}，{\mathcal{C}}_{2升-\mathrm{1个}}\cup \{C_{2ķ}\}）=\mathrm{\Theta }（{ñ}^2）$。更普遍地，我们表明对于任何$ķ>升$ 和 $米\ge 2$ 这样 $2ķ\ne 米升$， 我们有 $ËX（ñ，C_{米升}，{\mathcal{C}}_{2升-\mathrm{1个}}\cup \{C_{2ķ}\}）=\mathrm{\Theta }（{ñ}^{米}）$。

（iii）

我们证明 $ËX（ñ，C_{2升+\mathrm{1个}}，{\mathcal{C}}_{2升}）=\mathrm{\Theta }（{ñ}^{2+\mathrm{1个}/升}）$，提供了Erdős的周长猜想更强的版本（这在以下情况下是正确的 $升=2，3，5$）。在禁止再增加一个循环会减少循环次数的意义上，此结果也很明显。$C_{2升+\mathrm{1个}}$重要的是：更确切地说，我们有 $ËX（ñ，C_{2升+\mathrm{1个}}，{\mathcal{C}}_{2升}\cup \{C_{2ķ}\}）=Ø（{ñ}^{2-\frac{\mathrm{1个}}{升+\mathrm{1个}}}）$和 $ËX（ñ，C_{2升+\mathrm{1个}}，{\mathcal{C}}_{2升}\cup \{C_{2ķ+\mathrm{1个}}\}）=Ø（{ñ}^2）$ 对于 $升>ķ\ge 2$。

（iv）

我们还研究了给定长度的最大路径数 $C_{ķ}$自由图，并在某些情况下证明渐近尖锐的边界。