In this paper we study natural generalizations of the first order Calderón commutator in higher dimensions $d\ge 2$. We study the bilinear operator ${\mathrm{T}}_{\mathbf{m}}$ which is given by${\mathrm{T}}_{\mathbf{m}}(f,g)(x):=\underset{{\mathbb{R}}^{2d}}{\iint }[\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathbf{m}(\xi +t\eta )dt]\hat{f}(\xi )\hat{g}(\eta ){\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}x\cdot (\xi +\eta )}d\xi d\eta .$ Our results are obtained under two different conditions of the multiplier m. The first result is that when $K\in {\mathcal{S}}^{\prime }\cap L_{loc}^1({\mathbb{R}}^d\setminus \{0\})$ is a regular Calderón-Zygmund convolution kernel of regularity $0<\delta \le 1$, ${\mathrm{T}}_{\hat{K}}$ maps $L^p({\mathbb{R}}^d)\times L^q({\mathbb{R}}^d)$ into $L^r({\mathbb{R}}^d)$ for all $1<p,q\le \infty$, $\frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ as long as $r>\frac{d}{d+1}$. The second result is that when the multiplier $\mathbf{m}\in {\mathrm{C}}^{d+1}({\mathbb{R}}^d\setminus \{0\})$ satisfies the Hörmander derivative conditions$|{\partial }_{\xi }^{\alpha }\mathbf{m}(\xi )|\le D_{\alpha }|\xi {|}^{-|\alpha |}$ for all $\xi \ne 0$, and for all multi-indices α with $|\alpha |\le d+1$, ${\mathrm{T}}_{\mathbf{m}}$ maps $L^p({\mathbb{R}}^d)\times L^q({\mathbb{R}}^d)$ into $L^r({\mathbb{R}}^d)$ for all $1<p,q\le \infty$, $\frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ as long as $r>\frac{d}{d+1}$. These two results are sharp except for the endpoint case $r=\frac{d}{d+1}$. In case $d=1$ and $K(x)=1/x$, it is well-known that ${\mathrm{T}}_{\hat{K}}$ maps $L^p(\mathbb{R})\times L^q(\mathbb{R})$ into $L^r(\mathbb{R})$ for $1<p,q\le \infty$, $\frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ as long as $r>1/2$. In higher dimensional case $d\ge 2$, in 2016, when $\hat{K}(\xi )={\xi }_j/|\xi {|}^{d+1}$ is the Riesz multiplier on ${\mathbb{R}}^d$, P. W. Fong, in his Ph.D. Thesis [9], obtained${\Vert {\mathrm{T}}_{\hat{K}}(f,g)\Vert }_r\le C{\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_q$ for $1<p,q\le \infty$ as long as $r>d/(d+1)$. As far as we know, except for this special case, there has been no general results for the off-diagonal case $r<1$ in higher dimensions $d\ge 2$. To establish our results we develop ideas of C. Muscalu and W. Schlag [18], [19] with new methods.

在本文中，我们研究高阶一阶Calderón换向器的自然概括 $d\ge 2$。我们研究双线性算子${\mathrm{Ť}}_{\mathbf{米}}$ 由${\mathrm{Ť}}_{\mathbf{米}}（F，G）（X）：=\underset{{\mathbb{[R}}^{2d}}{\iint }[\underset{0}{\overset{\mathrm{1个}}{\int }}\mathbf{米}（\xi +Ť\eta ）dŤ]\hat{F}（\xi ）\hat{G}（\eta ）{\mathrm{Ë}}^{2\pi \mathrm{一世}X\cdot （\xi +\eta ）}d\xi d\eta 。$我们的结果是在乘数m的两个不同条件下获得的。第一个结果是，当$ķ\in {\mathcal{小号}}^{\prime }\cap {\mathrm{大号}}_{升ØC}^{\mathrm{1个}}（{\mathbb{[R}}^d\setminus \{0\}）$ 是正则的常规Calderón-Zygmund卷积核 $0<\delta \le \mathrm{1个}$， ${\mathrm{Ť}}_{\widehat{ķ}}$ 地图 ${\mathrm{大号}}^p（{\mathbb{[R}}^d）\times {\mathrm{大号}}^q（{\mathbb{[R}}^d）$ 进入 ${\mathrm{大号}}^{\mathrm{[R}}（{\mathbb{[R}}^d）$ 对所有人 $\mathrm{1个}<p，q\le \infty$， $\frac{\mathrm{1个}}{\mathrm{[R}}=\frac{\mathrm{1个}}{p}+\frac{\mathrm{1个}}{q}$ 只要 $\mathrm{[R}>\frac{d}{d+\mathrm{1个}}$。第二个结果是当乘数$\mathbf{米}\in {\mathrm{C}}^{d+\mathrm{1个}}（{\mathbb{[R}}^d\setminus \{0\}）$ 满足Hörmander导数条件$|{\partial }_{\xi }^{\alpha }\mathbf{米}（\xi ）|\le d_{\alpha }|\xi {|}^{-|\alpha |}$ 对所有人 $\xi \ne 0$，并为所有多指数α与$|\alpha |\le d+\mathrm{1个}$， ${\mathrm{Ť}}_{\mathbf{米}}$ 地图 ${\mathrm{大号}}^p（{\mathbb{[R}}^d）\times {\mathrm{大号}}^q（{\mathbb{[R}}^d）$ 进入 ${\mathrm{大号}}^{\mathrm{[R}}（{\mathbb{[R}}^d）$ 对所有人 $\mathrm{1个}<p，q\le \infty$， $\frac{\mathrm{1个}}{\mathrm{[R}}=\frac{\mathrm{1个}}{p}+\frac{\mathrm{1个}}{q}$ 只要 $\mathrm{[R}>\frac{d}{d+\mathrm{1个}}$。除端点情况外，这两个结果都很清晰$\mathrm{[R}=\frac{d}{d+\mathrm{1个}}$。以防万一$d=\mathrm{1个}$ 和 $ķ（X）=\mathrm{1个}/X$众所周知 ${\mathrm{Ť}}_{\widehat{ķ}}$ 地图 ${\mathrm{大号}}^p（\mathbb{[R}）\times {\mathrm{大号}}^q（\mathbb{[R}）$ 进入 ${\mathrm{大号}}^{\mathrm{[R}}（\mathbb{[R}）$ 对于 $\mathrm{1个}<p，q\le \infty$， $\frac{\mathrm{1个}}{\mathrm{[R}}=\frac{\mathrm{1个}}{p}+\frac{\mathrm{1个}}{q}$ 只要 $\mathrm{[R}>\mathrm{1个}/2$。在高维情况下$d\ge 2$，在2016年， $\widehat{ķ}（\xi ）={\xi }_{Ĵ}/|\xi {|}^{d+\mathrm{1个}}$ 是Riesz乘数 ${\mathbb{[R}}^d$，PW Fong，拥有博士学位 论文[9]，获得${\Vert {\mathrm{Ť}}_{\widehat{ķ}}（F，G）\Vert }_{\mathrm{[R}}\le C{\Vert F\Vert }_p{\Vert G\Vert }_q$ 对于 $\mathrm{1个}<p，q\le \infty$ 只要 $\mathrm{[R}>d/（d+\mathrm{1个}）$。据我们所知，除了这种特殊情况外，对角线情况没有任何一般结果$\mathrm{[R}<\mathrm{1个}$ 在更高的尺寸 $d\ge 2$。为了建立我们的结果，我们用新方法开发了C. Muscalu和W. Schlag [18]，[19]的想法。