Abstract Let T be a tree with n vertices, and D n be the distance matrix of T . Graham and Pollak (1971) discovered an elegant formula for the determinant of D n : det ( D n ) = − ( n − 1 ) ( − 2 ) n − 2 . It is surprising that it depends only on the order of T , not on the specific structure of T . By virtue of the classical Dodgson’s determinant-evaluation rule, Yan and Yeh (2006) presented a simple proof of the formula above. In this note, we give another simple proof, based on a homogeneous linear three-term recurrence relation: det ( D n ) + 4 det ( D n − 1 ) + 4 det ( D n − 2 ) = 0 .

中文翻译：

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格雷厄姆和波拉克定理的另一个简单证明

Abstract 设T为一棵有n个顶点的树，D n 为T的距离矩阵。Graham 和 Pollak (1971) 发现了 D n 行列式的优雅公式： det ( D n ) = − ( n − 1 ) ( − 2 ) n − 2 。令人惊讶的是，它只取决于 T 的顺序，而不取决于 T 的具体结构。凭借经典的 Dodgson 行列式评估规则，Yan 和 Yeh (2006) 提供了上述公式的简单证明。在本笔记中，我们基于齐次线性三项递推关系给出另一个简单的证明： det ( D n ) + 4 det ( D n − 1 ) + 4 det ( D n − 2 ) = 0 。