The paper presents an improved formula for optimal navigation with respect to time which can be applied to the practical methods and numerical techniques for computing minimum-time paths and routing in arbitary winds, i.e. strong, critical, weak including their combinations, considered on arbitrary modelling surface, thought of as a Riemannian manifold of dimension two. It admits space and time dependence of both, a perturbing wind and a self-speed (airspeed) of a ship. The generalized formula stands for the refinement of analogous optimality conditions worked out recently for spherical cases and so, the improvement of the computational aspects of the corresponding algorithms. In particular, the findings can lead to extension of previous models to ellipsoidal with a two-state problem and two controls. The results can be used for air and marine applications which refer to the Zermelo navigation problem. Although the main interest is dedicated to least time solutions, our objective is also to point out and compare the second type of optimal trajectories, i.e. time-maximal in strong perturbation, where speed of a wind (a water current or a stream) is greater than maximum speed of a ship (an aerial vehicle) relative to a flowing water (air). We also obtain the classification results involving time-minimal and time-maximal paths, types of winds and optimal controls. For the purposes of applied modelling an improved optimality condition in the spherical coordinates for time-optimal navigation on a rotational ellipsoid is worked out in the presented example.

本文提出了一种关于时间的最佳导航的改进公式，该公式可以应用于计算任意风中的短时路径和路径的实用方法和数值技术，这些时间和路径在任意风中即强，临界，弱，包括其组合表面，被认为是二维的黎曼流形。它考虑到了风和船舶自速度（空速）的时空依赖性。广义公式代表了最近针对球形情况而拟定的类似最优条件的细化，因此是对相应算法的计算方面的改进。特别是，这些发现可能导致先前的模型扩展为具有两个状态问题和两个控制的椭圆体。该结果可用于涉及Zermelo导航问题的航空和海洋应用。尽管主要的关注点是最短时间的解决方案，但我们的目标也是指出并比较第二种最优轨迹，即强扰动中的最大时间，其中风速（水流或水流）更大比船舶（航空器）相对于流动的水（空气）的最大速度高。我们还获得了涉及时间最小路径和时间最大路径，风的类型和最佳控制的分类结果。为了应用建模的目的，在提出的示例中，提出了在球面坐标系中改进的最佳条件，用于在旋转椭球上进行时间最佳导航。尽管主要的关注点是最短时间的解决方案，但我们的目标也是指出并比较第二种最优轨迹，即强扰动中的最大时间，其中风速（水流或水流）更大比船舶（航空器）相对于流动的水（空气）的最大速度高。我们还获得了涉及时间最小路径和时间最大路径，风的类型和最佳控制的分类结果。为了应用建模的目的，在提出的示例中，提出了在球面坐标系中改进的最佳条件，用于在旋转椭球上进行时间最佳导航。尽管主要的关注点是最短时间的解决方案，但我们的目标也是指出并比较第二种最优轨迹，即强扰动中的最大时间，其中风速（水流或水流）更大比船舶（航空器）相对于流动的水（空气）的最大速度高。我们还获得了涉及时间最小和最大时间路径，风的类型和最佳控制的分类结果。为了应用建模的目的，在提出的示例中，提出了在球面坐标系中改进的最佳条件，用于在旋转椭球上进行时间最佳导航。风（水流或溪流）相对于流动的水（空气）的最大速度大于船舶（飞行器）的最大速度的位置。我们还获得了涉及时间最小路径和时间最大路径，风的类型和最佳控制的分类结果。为了应用建模的目的，在提出的示例中，提出了在球面坐标系中改进的最佳条件，用于在旋转椭球上进行时间最佳导航。风速（水流或溪流）相对于流动水（空气）的最大速度大于船舶（飞行器）的最大速度。我们还获得了涉及时间最小路径和时间最大路径，风的类型和最佳控制的分类结果。为了应用建模的目的，在提出的示例中，提出了在球面坐标系中改进的最佳条件，用于在旋转椭球上进行时间最佳导航。