Abstract Efficient long-time integration of nonlinear fractional differential equations is significantly challenging due to the integro-differential nature of the fractional operators. In addition, the inherent non-smoothness introduced by the inverse power-law kernels deteriorates the accuracy and efficiency of many existing numerical methods. We develop two efficient first- and second-order implicit-explicit (IMEX) methods for accurate time-integration of stiff/nonlinear fractional differential equations with fractional order α ∈ ( 0 , 1 ] and prove their convergence and linear stability properties. The developed methods are based on a linear multi-step fractional Adams-Moulton method (FAMM), followed by the extrapolation of the nonlinear force terms. In order to handle the singularities nearby the initial time, we employ Lubich-like corrections to the resulting fractional operators. The obtained linear stability regions of the developed IMEX methods are larger than existing IMEX methods in the literature. Furthermore, the size of the stability regions increase with the decrease of fractional order values, which is suitable for stiff problems. We also rewrite the resulting IMEX methods in the language of nonlinear Toeplitz systems, where we employ a fast inversion scheme to achieve a computational complexity of O ( N log ⁡ N ) , where N denotes the number of time-steps. Our computational results demonstrate that the developed schemes can achieve global first- and second-order accuracy for highly-oscillatory stiff/nonlinear problems with singularities.

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非线性分数阶微分方程的隐显时间积分

摘要 由于分数阶算子的积分微分性质，非线性分数阶微分方程的有效长时间积分具有很大的挑战性。此外，逆幂律内核引入的固有非平滑性降低了许多现有数值方法的准确性和效率。我们开发了两种有效的一阶和二阶隐显式 (IMEX) 方法，用于对分数阶为 α ∈ ( 0 , 1 ] 的刚性/非线性分数阶微分方程进行精确时间积分，并证明了它们的收敛性和线性稳定性。方法基于线性多步分数 Adams-Moulton 方法 (FAMM)，然后外推非线性力项。为了处理初始时间附近的奇点，我们对所得的分数运算符采用类似 Lubich 的修正。所开发的 IMEX 方法获得的线性稳定区域大于文献中现有的 IMEX 方法。此外，稳定区域的大小随着分数阶值的减小而增加，这适用于刚性问题。我们还用非线性 Toeplitz 系统的语言重写了生成的 IMEX 方法，其中我们采用快速反演方案来实现 O ( N log ⁡ N ) 的计算复杂度，其中 N 表示时间步数。我们的计算结果表明，对于具有奇点的高振荡刚性/非线性问题，所开发的方案可以实现全局一阶和二阶精度。所开发的 IMEX 方法获得的线性稳定区域大于文献中现有的 IMEX 方法。此外，稳定区域的大小随着分数阶值的减小而增加，这适用于刚性问题。我们还用非线性 Toeplitz 系统的语言重写了生成的 IMEX 方法，其中我们采用快速反演方案来实现 O ( N log ⁡ N ) 的计算复杂度，其中 N 表示时间步数。我们的计算结果表明，对于具有奇点的高振荡刚性/非线性问题，所开发的方案可以实现全局一阶和二阶精度。所开发的 IMEX 方法获得的线性稳定区域大于文献中现有的 IMEX 方法。此外，稳定区域的大小随着分数阶值的减小而增加，这适用于刚性问题。我们还用非线性 Toeplitz 系统的语言重写了生成的 IMEX 方法，其中我们采用快速反演方案来实现 O ( N log ⁡ N ) 的计算复杂度，其中 N 表示时间步数。我们的计算结果表明，对于具有奇点的高振荡刚性/非线性问题，所开发的方案可以实现全局一阶和二阶精度。这适用于刚性问题。我们还用非线性 Toeplitz 系统的语言重写了生成的 IMEX 方法，其中我们采用快速反演方案来实现 O ( N log ⁡ N ) 的计算复杂度，其中 N 表示时间步数。我们的计算结果表明，对于具有奇点的高振荡刚性/非线性问题，所开发的方案可以实现全局一阶和二阶精度。这适用于刚性问题。我们还用非线性 Toeplitz 系统的语言重写了生成的 IMEX 方法，其中我们采用快速反演方案来实现 O ( N log ⁡ N ) 的计算复杂度，其中 N 表示时间步数。我们的计算结果表明，对于具有奇点的高振荡刚性/非线性问题，所开发的方案可以实现全局一阶和二阶精度。