Geometric and functional Brunn-Minkowski type inequalities for the lattice point enumerator $\mathrm{G}_n(\cdot)$ are provided. In particular, we show that $$\mathrm{G}_n((1-\lambda)K + \lambda L + (-1,1)^n)^{1/n}\geq (1-\lambda)\mathrm{G}_n(K)^{1/n}+\lambda\mathrm{G}_n(L)^{1/n}$$ for any non-empty bounded sets $K, L\subset\mathbb{R}^n$ and all $\lambda\in(0,1)$. We also show that these new discrete versions imply the classical results, and discuss some links with other related inequalities.

中文翻译：

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格点枚举器的 Brunn-Minkowski 型不等式

提供了格点枚举器 $\mathrm{G}_n(\cdot)$ 的几何和函数 Brunn-Minkowski 类型不等式。特别地，我们证明 $$\mathrm{G}_n((1-\lambda)K + \lambda L + (-1,1)^n)^{1/n}\geq (1-\lambda) \mathrm{G}_n(K)^{1/n}+\lambda\mathrm{G}_n(L)^{1/n}$$ 对于任何非空有界集 $K, L\subset\mathbb {R}^n$ 和所有 $\lambda\in(0,1)$。我们还展示了这些新的离散版本暗示了经典结果，并讨论了与其他相关不等式的一些联系。