We study the regularity of smooth functions $f$ defined on an open set of $\mathbb{R}^n$ and such that, for certain integers $p\geq 2$, the powers $f^p :x\mapsto (f(x))^p$ belong to a Denjoy-Carleman class $\mathcal{C}_M$ associated with a suitable weight sequence $M$. Our main result is a statement analogous to a classic theorem of H. Joris on $\mathcal{C}^\infty$ functions: if a function $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ is such that both functions $f^p$ and $f^q$ with $\gcd(p,q)=1$ are of class $\mathcal{C}_M$ on $\mathbb{R}$, and if the weight sequence $M$ satisfies the so-called moderate growth assumption, then $f$ itself is of class $\mathcal{C}_M$. Various ancillary results, corollaries and examples are presented.

中文翻译：

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具有超可微幂的函数

我们研究了定义在 $\mathbb{R}^n$ 的开集上的平滑函数 $f$ 的正则性，并且对于某些整数 $p\geq 2$，幂 $f^p :x\mapsto ( f(x))^p$ 属于与合适的权重序列 $M$ 相关联的 Denjoy-Carleman 类 $\mathcal{C}_M$。我们的主要结果是一个类似于 H. Joris 关于 $\mathcal{C}^\infty$ 函数的经典定理的陈述：如果函数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 是这样的具有 $\gcd(p,q)=1$ 的函数 $f^p$ 和 $f^q$ 都属于 $\mathbb{R}$ 上的 $\mathcal{C}_M$ 类，如果权重序列$M$ 满足所谓的适度增长假设，则 $f$ 本身属于 $\mathcal{C}_M$ 类。提供了各种辅助结果、推论和示例。